大学数学

連続関数 f(x) の反復積分 fk(x) が次のように表されることを示す方法を解説します。問題設定f1(x)=∫f(t)dt とし、再帰的に fk(x)=∫fk-1(t)dt と定義します。このとき、次を示すことが目標です。fk(x)=∫...

数列や極限の問題では、積の n 乗根を含む式が頻繁に登場します。特に (n+1)(n+2)…(2n) のような連続積は階乗に変形できるため、対数や積分、スターリングの公式を利用して極限を求めることができます。この記事では、次の極限を丁寧に解...

ルジャンドル多項式は、微分方程式やフーリエ解析、量子力学などで頻繁に登場する重要な直交多項式です。特に大学数学や応用数学では、ルジャンドル多項式同士の内積である ∫Pm(x)Pn(x)dx を求める問題がよく出題されます。この記事では、ロド...

エルミート多項式は確率論、量子力学、統計学などで広く利用される直交多項式です。特に重み関数e-x²/2に関する直交性は非常に重要であり、フーリエ解析や調和振動子の波動関数の計算にも登場します。本記事では、エルミート多項式の定義から出発し、積...

ラゲール多項式は量子力学や特殊関数論で重要な役割を果たす直交多項式です。特に、重み関数e-xに関する直交性は頻出のテーマであり、積分∫₀∞Lm(x)Ln(x)e-xdxを評価する問題は大学数学や物理数学でよく扱われます。本記事ではラゲール多...

関数 f(x) = ∫_0^x cos(1/t) dt (x ≥ 0) の導関数を求めるには、基本的な微積分の定理を利用します。ステップ1：基本定理の適用微積分の基本定理によれば、連続関数 g(t) に対して F(x) = ∫_a^x g(...

上でC1級の関数f(x)に対して、リーマン和と積分の差の極限lim n→∞ (∑_{k=1}^n f(k/n) - n∫_0^1 f(x)dx) = 1/2 (f(1) - f(0))を示す方法を解説します。ステップ1：差を分割して書き換え...

経済学で大学数学をしっかり学ぶには、高校数学の基礎を固めることが非常に重要です。特に、微分・積分、行列、確率・統計などの大学数学で頻出のテーマは、高校で学ぶ関数・数列・図形・場合の数などの理解が前提となります。1. 数学I・A・II・Bの基...

群論の入門問題として出題されるあみだくじに関する問題は、初めて見ると難しく感じるかもしれません。ここでは数学的帰納法や定義に沿った全単射、一対一対応の考え方を整理してみます。問題の整理と前提あみだくじは、ある有限集合上の順列を生成する操作と...

指数関数 e^x は微分しても変わらないという特徴を持つため、マクローリン展開の代表例として頻繁に扱われます。また、近似式の精度を評価するためには剰余項を求めることが重要です。この記事では e^x のマクローリン展開を確認し、剰余項を積分形...