指数関数 e^x は微分しても変わらないという特徴を持つため、マクローリン展開の代表例として頻繁に扱われます。また、近似式の精度を評価するためには剰余項を求めることが重要です。この記事では e^x のマクローリン展開を確認し、剰余項を積分形で導出する方法を解説します。
e^xのマクローリン展開とは
マクローリン展開とは、テイラー展開の中心を x=0 にしたものです。
関数 f(x)=e^x の各階導関数はすべて e^x であり、特に x=0 においては
f(0)=f'(0)=f”(0)=・・・=1
となります。
したがって e^x の n 次マクローリン多項式は
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+・・・+x^n/n!+R_n(x)
となります。
テイラーの定理による積分形剰余項
一般に関数 f(x) の n 次テイラー展開における積分形剰余項は
R_n(x)=∫[0→x] ((x-t)^n/n!)f^(n+1)(t)dt
で表されます。
この式はテイラーの定理から導かれ、近似誤差を厳密に表現する公式として知られています。
e^xに適用する
e^x の場合は何回微分しても e^t のままなので
f^(n+1)(t)=e^t
です。
したがって積分形剰余項は
R_n(x)=1/n!∫[0→x](x-t)^n e^t dt
となります。
これが e^x のマクローリン展開における積分形剰余項の最終結果です。
具体例として3次まで展開する場合
例えば3次までの近似を考えると
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+R_3(x)
となります。
このとき剰余項は
R_3(x)=1/3!∫[0→x](x-t)^3e^t dt
で与えられます。
この積分値が近似誤差そのものを表しているため、数値計算や誤差評価に利用できます。
積分形剰余項とラグランジュ形剰余項の関係
積分形剰余項から平均値の定理を利用すると、ある ξ（0<ξ<x）が存在して
R_n(x)=e^ξ x^(n+1)/(n+1)!
と表せます。
これはラグランジュ形剰余項と呼ばれ、大学数学では積分形と並んでよく用いられます。
積分形は導出過程が明確であり、ラグランジュ形は誤差の大きさを見積もる際に便利という特徴があります。
まとめ
e^x のマクローリン展開は 1+x+x^2/2!+・・・+x^n/n! で表されます。そしてテイラーの定理を用いると、積分形剰余項は R_n(x)=1/n!∫[0→x](x-t)^n e^t dt となります。指数関数は全ての階導関数が同じ形になるため、剰余項も比較的簡潔に表せるのが特徴です。積分形剰余項を理解すると、近似式の誤差評価や解析学の理解がより深まります。
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