マクローリン展開では、関数を多項式で近似するとともに、その近似誤差を表す剰余項を求めることが重要です。特に大学数学では、ラグランジュ形や積分形の剰余項を用いて近似の精度を評価します。ここでは log(1+x^3) のマクローリン展開を求め、その剰余項を積分形で表す方法を解説します。
まずは log(1+t) のマクローリン展開を確認する
一般に、|t|<1 の範囲で
log(1+t)=t-t^2/2+t^3/3-・・・+(-1)^(n-1)t^n/n+R_n(t)
と展開できます。
このとき積分形剰余項は
R_n(t)=∫[0→t] ((u-t)^n/n!)・f^(n+1)(u) du
で与えられます。ここで f(u)=log(1+u) です。
log(1+x^3) に置き換える
t=x^3 とおくと、求める関数は f(x)=log(1+x^3) です。
したがってマクローリン展開は
log(1+x^3)=x^3-x^6/2+x^9/3-・・・+(-1)^(n-1)x^(3n)/n+R_n(x)
となります。
つまり通常の log(1+t) の展開式に t=x^3 を代入した形になります。
剰余項を積分形で表す
log(1+t) の (n+1) 階導関数は
f^(n+1)(t)=(-1)^n n!/(1+t)^(n+1)
です。
これを積分形剰余項に代入すると
R_n(t)=(-1)^n∫[0→t] (u-t)^n/(1+u)^(n+1) du
となります。
さらに t=x^3 を代入すれば
R_n(x)=(-1)^n∫[0→x^3] (u-x^3)^n/(1+u)^(n+1) du
が log(1+x^3) の積分形剰余項です。
低次の場合の具体例
例えば x^9 の項まで使う場合は
log(1+x^3)=x^3-x^6/2+x^9/3+R_3(x)
となります。
このとき剰余項は
R_3(x)=-∫[0→x^3] (u-x^3)^3/(1+u)^4 du
です。
積分区間が有限であり、分母も 1+u の冪乗で表されるため、誤差評価に利用しやすい形になっています。
積分形剰余項を使う意味
積分形剰余項は単に誤差を表すだけではなく、その誤差の大きさを評価する際にも便利です。
例えば |x|<1 の範囲では分母 (1+u)^(n+1) の下限を利用して、近似誤差の上界を求めることができます。
数値解析や近似計算では、何項まで取れば十分な精度になるかを判断するために活用されます。
まとめ
log(1+x^3) は log(1+t) のマクローリン展開に t=x^3 を代入することで求められます。その結果、展開式は x^3-x^6/2+x^9/3-・・・ となり、n次まで取ったときの積分形剰余項は R_n(x)=(-1)^n∫[0→x^3] (u-x^3)^n/(1+u)^(n+1) du です。積分形剰余項は近似誤差を厳密に表現できるため、大学の微分積分や解析学で頻繁に利用されます。
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