エルミート多項式の直交性を証明｜∫[-∞,∞]Hm(x)Hn(x)e^{-x²/2}dx の求め方と結果

エルミート多項式は確率論、量子力学、統計学などで広く利用される直交多項式です。特に重み関数e^-x²/2に関する直交性は非常に重要であり、フーリエ解析や調和振動子の波動関数の計算にも登場します。本記事では、エルミート多項式の定義から出発し、積分∫_-∞^∞Hm(x)Hn(x)e^-x²/2dxを求める方法を解説します。

エルミート多項式の定義

問題で与えられたエルミート多項式は次のロドリゲス型公式で定義されています。

Hn(x)=(-1)ⁿe^x²/2(1/√(n!))dⁿ/dxⁿ(e^-x²/2)

この定義は確率論でよく用いられる正規化エルミート多項式に対応しています。

エルミート多項式はn次多項式であり、重み関数e^-x²/2に関して直交する性質を持っています。

求める積分

評価したい積分を

I_mn=∫_-∞^∞Hm(x)Hn(x)e^-x²/2dx

とおきます。

この積分はエルミート多項式同士の内積を表しています。

直交性が成り立つなら、異なる次数では0になるはずです。

m≠nの場合

Hn(x)の定義を代入すると

I_mn=(-1)ⁿ/√(n!)∫_-∞^∞Hm(x)dⁿ/dxⁿ(e^-x²/2)dx

となります。

ここでn回部分積分を行います。

e^-x²/2は|x|→∞で指数関数的に0へ収束するため、境界項はすべて消えます。

すると

I_mn=1/√(n!)∫_-∞^∞(dⁿHm/dxⁿ)e^-x²/2dx

が得られます。

m<nならHm(x)はm次多項式なのでn階微分は恒等的に0です。

したがって

m≠nなら I_mn=0

となります。

m=nの場合

次にm=nとします。

同様の計算を行うと

I_nn=1/n!∫_-∞^∞(dⁿHn/dxⁿ)e^-x²/2dx

が得られます。

この正規化ではエルミート多項式は直交規格化されており、最終的に内積はガウス積分に帰着します。

基本ガウス積分

∫_-∞^∞e^-x²/2dx=√(2π)

を利用すると、同次数の場合の積分値は√(2π)となります。

直交規格化との関係

エルミート多項式には複数の定義があります。

物理学で用いられるエルミート多項式では係数が異なるため、内積に2ⁿn!などの因子が現れます。

しかし問題文のように1/√(n!)で正規化された定義では、次数による係数が打ち消されます。

その結果、内積はクロネッカーのデルタのみを用いて簡潔に表現できます。

最終結果

したがって

∫_-∞^∞Hm(x)Hn(x)e^-x²/2dx=√(2π)δ_mn

となります。

まとめ

エルミート多項式は重み関数e^-x²/2に関して直交する代表的な直交多項式です。

ロドリゲスの公式と部分積分を用いることで、異なる次数では積分が0になることが示せます。

また問題文の正規化では、同じ次数同士の内積は√(2π)となります。したがって求める積分は、∫_-∞^∞Hm(x)Hn(x)e^-x²/2dx=√(2π)δ_mnです。