ラゲール多項式は量子力学や特殊関数論で重要な役割を果たす直交多項式です。特に、重み関数e-xに関する直交性は頻出のテーマであり、積分∫₀∞Lm(x)Ln(x)e-xdxを評価する問題は大学数学や物理数学でよく扱われます。本記事ではラゲール多項式の定義から出発し、この積分の値を求める流れを解説します。
ラゲール多項式の定義
ラゲール多項式Ln(x)はロドリゲスの公式によって定義されます。
Ln(x)=exdn/dxn(xne-x)
定数因子を含む定義の流儀もありますが、ここでは問題文の定義に従います。
この定義からLn(x)はn次多項式であることが分かります。
求める積分の形
考える積分は
Imn=∫₀∞Lm(x)Ln(x)e-xdx
です。
この積分はラゲール多項式の直交性を表しています。
直交多項式の理論によれば、異なる次数同士では積分値が0になります。
m≠nの場合
ロドリゲスの公式を用いてLn(x)を代入します。
Ln(x)=exdn/dxn(xne-x)
すると
Imn=∫₀∞Lm(x)dn/dxn(xne-x)dx
となります。
ここでn回部分積分を行うと、境界項はxne-xが0と∞で消えるため全て消滅します。
結果としてLm(x)のn階微分が現れます。
ところがm<nならLm(x)はm次多項式なのでn階微分は0になります。
したがって
m≠nなら Imn=0
となります。
m=nの場合
次にm=nとします。
同様にn回部分積分を行うと
Inn=(-1)n∫₀∞(dnLn/dxn)xne-xdx
となります。
最高次項に注目すると、Ln(x)の最高次係数は(-1)nです。
そのためn階微分は
dnLn/dxn=(-1)nn!
となります。
したがって
Inn=n!∫₀∞xne-xdx
です。
ガンマ関数を利用する
よく知られた積分公式
∫₀∞xne-xdx=Γ(n+1)=n!
を用いると
Inn=(n!)²
が得られます。
よって同じ次数同士の内積は(n!)²になります。
最終結果
以上より、ラゲール多項式は重みe-xに関して直交し、求める積分は
| 条件 | 積分値 |
|---|---|
| m≠n | 0 |
| m=n | (n!)² |
となります。
クロネッカーのデルタδmnを用いると
∫₀∞Lm(x)Ln(x)e-xdx=(n!)²δmn
と簡潔に表せます。
まとめ
ラゲール多項式は重み関数e-xに関して直交する代表的な特殊関数です。
ロドリゲスの公式から部分積分を繰り返すことで、異なる次数では積分が0になることが示せます。
また同じ次数の場合はガンマ関数の積分公式を利用して(n!)²が得られます。したがって最終的な答えは、∫₀∞Lm(x)Ln(x)e-xdx=(n!)²δmnとなります。
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