f(x)=∫[0,x]cos(1/t)dtの導関数の求め方

関数 f(x) = ∫_0^x cos(1/t) dt (x ≥ 0) の導関数を求めるには、基本的な微積分の定理を利用します。

ステップ1：基本定理の適用

微積分の基本定理によれば、連続関数 g(t) に対して F(x) = ∫_a^x g(t) dt の導関数は F'(x) = g(x) となります。

ステップ2：積分範囲と注意点

ただしここで注意する点は、cos(1/t) が t = 0 で定義されないことです。しかし x > 0 の場合は積分の上限が x > 0 なので問題ありません。

ステップ3：導関数の計算

したがって x > 0 に対しては

f'(x) = cos(1/x)

となります。

ステップ4：x = 0 での挙動

x = 0 では 1/t が発散するため、cos(1/t) は振動し極限が存在しません。従って f'(0) は定義できません。

まとめ

結論として、関数 f(x) の導関数は

f'(x) = cos(1/x), x > 0

です。x = 0 では導関数は存在しません。