C1級関数のリーマン和と積分の差の極限公式の証明

[0,1]上でC1級の関数f(x)に対して、リーマン和と積分の差の極限

lim n→∞ (∑_{k=1}^n f(k/n) – n∫_0^1 f(x)dx) = 1/2 (f(1) – f(0))

を示す方法を解説します。

ステップ1：差を分割して書き換える

まず、各区間のリーマン和と積分の差を区間ごとに分けます。

∑_{k=1}^n f(k/n) – n∫_0^1 f(x)dx = ∑_{k=1}^n [f(k/n) – n∫_{(k-1)/n}^{k/n} f(x) dx]

fはC1級なので各小区間 [(k-1)/n, k/n] で f(x) = f(k/n) – f'(ξ_k) (k/n – x) と書けます（ξ_k ∈ ((k-1)/n, k/n)）。

よって、各項の差は f(k/n) – n∫_{(k-1)/n}^{k/n} f(x) dx = n∫_{(k-1)/n}^{k/n} f'(ξ_k) (k/n – x) dx

∫_{(k-1)/n}^{k/n} (k/n – x) dx = 1/(2n^2)

よって ∑_{k=1}^n f(k/n) – n∫_0^1 f(x) dx = ∑_{k=1}^n f'(ξ_k) * 1/(2n) = 1/2 ∑_{k=1}^n f'(ξ_k)/n

右辺の和は区間平均に近づきます。n→∞ で ξ_k は k/n に近くなるので、極限は

lim n→∞ ∑_{k=1}^n f'(ξ_k)/n = ∫_0^1 f'(x) dx = f(1) – f(0)

したがって、全体の極限は 1/2 (f(1) – f(0)) となります。

リーマン和と積分の差は、小区間での傾き f'(x) の平均値に比例するため、極限をとると端点の差の半分になることが示されました。この公式は、数値積分の誤差解析や微分の初歩的応用でよく使われます。