数列や極限の問題では、積の n 乗根を含む式が頻繁に登場します。特に (n+1)(n+2)…(2n) のような連続積は階乗に変形できるため、対数や積分、スターリングの公式を利用して極限を求めることができます。この記事では、次の極限を丁寧に解説します。
lim n→∞ (1/n)((n+1)(n+2)・・・(2n))^(1/n)
まずは積を階乗で表す
積の部分は階乗を使うと簡潔に書けます。
(n+1)(n+2)・・・(2n)= (2n)! / n!
したがって求める極限は
(1/n){(2n)!/n!}^{1/n}
となります。
対数を取って考える
an=(1/n){(2n)!/n!}^{1/n}
とおきます。
両辺の対数を取ると
log an = -log n + (1/n)Σ[k=n+1～2n]log k
ここで log k = log n + log(k/n) と変形すると
log an = -log n + log n + (1/n)Σ[k=n+1～2n]log(k/n)
よって
log an=(1/n)Σ[k=n+1～2n]log(k/n)
となります。
リーマン和として極限を求める
右辺はリーマン和になっています。
(1/n)Σ[k=n+1～2n]log(k/n)
→ ∫[1,2]log x dx
となるので、積分を計算します。
∫log x dx = xlog x − x
したがって
∫[1,2]log x dx
= (2log2−2)−(0−1)
= 2log2−1
指数関数に戻す
以上より
lim log an = 2log2−1
なので
lim an = e^(2log2−1)
= 4/e
となります。
スターリングの公式でも確認できる
参考としてスターリングの公式
n!～√(2πn)(n/e)^n
を使うと
(2n)!/n! ～ √2・2^(2n)n^n e^(-n)
となります。
n 乗根を取ると
{(2n)!/n!}^{1/n} ～ 4n/e
したがって
(1/n){(2n)!/n!}^{1/n} → 4/e
となり同じ結果が得られます。
類題への応用
このタイプの問題では、積を階乗に直した後に対数を取ってリーマン和へ変換する方法が非常に有効です。
例えば
- ∏(1+k/n)
- ∏(a+k/n)
- 積の n 乗根を含む極限
なども同様の考え方で解けます。
まとめ
与えられた極限
lim n→∞ (1/n)((n+1)(n+2)・・・(2n))^(1/n)
では、積を (2n)!/n! に変形し、対数を取ってリーマン和を積分へ移すのが自然な解法です。
最終的な答えは
4/e
となります。
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