大学数学 難関積分の考え方を徹底解説｜∫(1/x+logx)e^xdx・∫dx/(x^4+1)^n・∫cosec^nxdx・∫[0,1](arcsinx)^ndx
大学受験や大学数学では、一見すると解き方が分からない積分に出会うことがあります。しかし、多くの場合は「部分積分」「漸化式」「置換積分」などの基本技法を組み合わせることで整理できます。ここでは代表的な4つの積分について、解答そのものよりも『な...
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大学数学 極座標曲線 r² = α e^(θ²) の直交截線の求め方
極座標で与えられた曲線 r² = α e^(θ²) に対して直交截線を求める方法を解説します。直交截線は、曲線上の任意の点における接線と直交する線の極方程式です。1. 極座標における接線の傾き極座標 (r,θ) の曲線において接線の傾きは、...
大学数学 整級数 ∑[n=1,∞] n^2 z^n の和の求め方（|z|<1）
複素数 z に対して |z|
大学数学 整級数 ∑[n=0,∞](i^n+n)z^n の収束半径と和の求め方
函数論では、整級数 ∑(i^n+n)z^n の収束範囲と和を求めることが基本的な課題です。この記事では、この級数の収束半径を求める方法と、和を計算する手順について解説します。収束半径の求め方まず、与えられた級数を2つの部分に分けます。∑ i...
大学数学 函数論の級数和の求め方：∑[n=1,∞] n(n+1)/(n+p) z^n の計算方法
無限級数や函数論の問題では、一般項の形を整理して既知の級数や函数の展開式を活用することが重要です。特に∑ n(n+1)/(n+p) z^n のような級数では、部分分数分解や微分・積分のテクニックが有効です。この記事では、与えられた級数を簡単...
大学数学 sinh⁻¹x＝ln(x+√(x²+1))の証明と逆関数でxとyを入れ替えられる理由をわかりやすく解説
双曲線関数の逆関数を学び始めると、sinh⁻¹x=ln(x+√(x²+1))という公式の証明で「なぜxとyを入れ替えてよいのか」「入れ替えた後のyがなぜsinh⁻¹xになるのか」で戸惑うことがあります。この記事では、公式の証明だけでなく、逆...
大学数学 広義積分 ∫[0,∞](sin((a+b)x/2)sin((a-b)x/2+3π/4))/x dx=0 となる条件を求める方法
三角関数を含む広義積分では、積和公式による変形とディリクレ積分の公式を利用することで、積分値をパラメータの関係式として求められる場合があります。本記事では、∫(sin((a+b)x/2)sin((a-b)x/2+3π/4))/x dx=0 ...
大学数学 中間テスト70点台の数学成績は理系志望に影響するのか？学力評価の現実と可能性
中学の数学の成績が70点台であることが、将来の理系進学や適性を左右するのか、気になる保護者や生徒は少なくありません。ここでは、点数だけで理系志望かどうかを判断できるか、そして学力向上の可能性について解説します。70点台は平均的な成績の一例公...
大学数学 定数係数線形微分方程式は特殊解の予想だけで十分？逆演算子法を学ぶべき理由と使い分けを解説
大学の微分方程式で定数係数線形微分方程式を学ぶと、特殊解を予想して係数を決定する方法と、微分演算子を用いた逆演算子法の2つに出会います。試験では前者だけで十分な場合も多いため、「逆演算子法まで習得する必要があるのか」と疑問に感じる学生は少な...
大学数学 微分方程式 y”=-9y を p=y’ と置いて解く方法｜yは定数になるのかをわかりやすく解説
微分方程式を学び始めると、y'=p と置く変数変換に戸惑うことがあります。特に y''=-9y のような2階微分方程式では、「y''=p(dp/dy) と変形した後、右辺の y はどう扱うのか」「y は定数になるのか」と疑問に思う人が少なく...