極座標曲線 r² = α e^(θ²) の直交截線の求め方

極座標で与えられた曲線 r² = α e^(θ²) に対して直交截線を求める方法を解説します。直交截線は、曲線上の任意の点における接線と直交する線の極方程式です。

1. 極座標における接線の傾き

極座標 (r,θ) の曲線において接線の傾きは、微分を使って求めます。直交截線の条件は、接線と垂直になることです。

まず r² = α e^(θ²) から r = √(α) e^(θ²/2) と書き換えます。

r を θ で微分すると。

dr/dθ = √(α) * θ * e^(θ²/2)

極座標の直交截線は、接線に垂直であるため、r² を用いた微分関係から次の微分方程式が得られます。

接線に垂直な線は、原点からの距離 r と角 θ の関係で次の形になります。

r dr/dθ + θ r² = 0 など（θ との関係に応じた形で整理）。

微分方程式を解くと直交截線の一般解が得られます。

・与えられた極座標曲線 r² = α e^(θ²) に対して、r = √(α) e^(θ²/2) と書き換える。
・接線の微分 dr/dθ を求める。
・接線と垂直な直交截線の微分方程式を立てる。
・微分方程式を解くことで、直交截線の方程式を導出する。