整級数 ∑[n=1,∞] n^2 z^n の和の求め方（|z|<1）

複素数 z に対して |z|<1 の範囲で、整級数 ∑[n=1,∞] n^2 z^n の和を求める方法を解説します。整級数の和を求めるには、既知の幾何級数の公式を微分操作で応用することが有効です。

1. 基本となる幾何級数

まず、基本の幾何級数の和は次の通りです。

∑[n=0,∞] z^n = 1 / (1 – z), |z|<1

これを n で微分すると n z^{n-1} の級数になります。

2. 一回微分して n z^n を求める

両辺を z で微分して、n z^{n-1} の級数を作ります。

∑[n=1,∞] n z^{n-1} = 1 / (1 – z)^2

両辺に z を掛けると、∑[n=1,∞] n z^n = z / (1 – z)^2 となります。

3. 二回微分して n^2 z^n を求める

さらに z で微分します。

∑[n=1,∞] n^2 z^{n-1} = d/dz [ z / (1 – z)^2 ]

右辺を計算すると。

d/dz [ z / (1 – z)^2 ] = (1 + z) / (1 – z)^3

両辺に z を掛けて、求める級数の和を得ます。

したがって、

∑[n=1,∞] n^2 z^n = z (1 + z) / (1 – z)^3

まとめ

・整級数 ∑ n^2 z^n (|z|<1) は微分操作で簡単に求められる。
・まず幾何級数 ∑ z^n = 1/(1-z) を用いる。
・一回微分して ∑ n z^n = z / (1-z)^2 を得る。
・二回微分して ∑ n^2 z^n = z (1 + z) / (1 – z)^3 を得る。