大学数学

函数論では、多価関数の主枝（principal branch）や解析接続に関する問題が頻繁に登場します。特に複素数のn乗根は複数の値を持つため、主枝と他の枝の関係を理解することが重要です。ここでは、φ₀(z)をz^(1/3)の主枝としたとき...

数学は暗記科目か、それとも考える科目か――これは受験生にとって永遠の議論です。福井一成氏の『東大医学部卒の医師による特別講義 ≪大学入試≫数学の脳科学的に正しい勉強法』では、脳科学的観点からこの問題にアプローチしています。脳科学が示す数学の...

情報学部の2年生でAI分野に進みたい方にとって、数学の基礎やAIの理論を先んじて学ぶことは非常に重要です。AIの理解には線形代数、確率統計、微分積分、最適化理論などが欠かせません。また、機械学習や深層学習の基本原理を理解するために、理論書や...

極座標で与えられた曲線群の直交軌線（直交截線）を求める問題は、微分方程式と極座標の接線の性質を理解しているかを問う典型問題です。この記事では、曲線群 r=2αcosθ を例として、助変数の消去から微分方程式の導出、そして直交軌線の求め方まで...

統計分析でよく使われるシャピロ・ウィルク検定（Shapiro-Wilk検定）は、データが正規分布に従っているかどうかを調べるための代表的な正規性検定です。しかし、分析ソフトの出力結果に表示される「p値」が何を意味するのか分からず困る人も少な...

極座標で与えられた曲線群の直交截線（直交軌道）を求める問題は、助変数の消去と極座標特有の直交条件を組み合わせる典型的な微分方程式の応用問題です。ここでは曲線群r=α(1-cosθ)について、直交截線の求め方を記述式で使える形で解説します。与...

極座標で表された曲線群の直交截線（直交軌道）を求める問題は、微分方程式と極座標の接線方向の関係を理解しているかを問う典型問題です。ここでは曲線群r=e^αθ（αは助変数）について、直交截線を導く過程を順を追って解説します。与えられた曲線群の...

数学史では、ある定理が理論的には前の定理の応用として導ける場合でも、発見の順番は必ずしも直線的ではありません。チホノフの定理がレフシェッツの不動点定理より後年に発表されたのは、数学的背景や研究対象の違い、研究者の着眼点の差によるものです。レ...

微分方程式を学び始めると、変数分離形や1階線形微分方程式までは比較的やさしい解説書が見つかる一方で、高階微分方程式や連立微分方程式、ラグランジュ型偏微分方程式まで扱う初学者向けの本は急に少なくなります。特に途中計算を丁寧に説明してくれる教材...

数学を学んでいると、「ピタゴラスの定理」「ド・モルガンの法則」「交換法則」「余弦定理」など、『定理』と『法則』の両方が登場します。しかし、なぜあるものは定理で、あるものは法則と呼ばれるのか疑問に思う人も少なくありません。実は数学における両者...