極座標で与えられた曲線群の直交軌線（直交截線）を求める問題は、微分方程式と極座標の接線の性質を理解しているかを問う典型問題です。この記事では、曲線群 r=2αcosθ を例として、助変数の消去から微分方程式の導出、そして直交軌線の求め方までを順を追って解説します。
直交軌線とは何か
直交軌線とは、ある曲線群と交わるすべての点で直角に交わる曲線群のことです。
例えば同心円の直交軌線は中心を通る直線群になります。このように元の曲線群の接線方向に対して常に90度の方向を持つ曲線を求めるのが目的です。
極座標では、接線の傾きの代わりに微分方程式を利用して直交条件を表現します。
与えられた曲線群を整理する
与えられた曲線群は
r=2αcosθ
です。ここでαは助変数（任意定数）です。
まずαを消去するために変形すると
α=r/(2cosθ)
となります。
両辺をθで微分すると
dr/dθ=-2αsinθ
ですが、元の式からα=r/(2cosθ)なので
dr/dθ=-r tanθ
を得ます。
したがって曲線群を表す微分方程式は
dr/dθ=-r tanθ
です。
極座標における直交条件
極座標曲線 r=f(θ) において、2つの曲線群が直交するためには、それぞれの微分係数を用いて
(dr/dθ)×(dr’/dθ)=-r²
という関係が成り立ちます。
したがって元の曲線群の微分方程式
dr/dθ=-r tanθ
から直交軌線の微分方程式は
dr’/dθ=-r²/(-r tanθ)
すなわち
dr/dθ=r cotθ
となります。
直交軌線の微分方程式を解く
得られた微分方程式
dr/dθ=r cotθ
を変数分離します。
1/r dr=cotθ dθ
両辺を積分すると
∫(1/r)dr=∫cotθ dθ
より
lnr=ln(sinθ)+C
となります。
指数関数をとると
r=Csinθ
を得ます。
結果を直交性の観点から確認する
元の曲線群
r=2αcosθ
は直交座標に変換すると
r²=2αr cosθ
x²+y²=2αx
となり、中心がx軸上にある円群です。
一方、求めた直交軌線
r=Csinθ
を直交座標に変換すると
x²+y²=Cy
となり、中心がy軸上にある円群になります。
この2つの円群は互いに直交して交わるため、求めた結果が正しいことが確認できます。
類題でよく使う解法パターン
極座標の直交軌線問題では、まず助変数を消去して微分方程式を作ることが第一歩です。
その後、元の曲線群の微分方程式を用いて直交条件を適用し、新しい微分方程式を導きます。
最後に変数分離や積分因子などを使って解けば、多くの問題に対応できます。
まとめ
曲線群 r=2αcosθ を微分すると dr/dθ=-r tanθ が得られます。
極座標における直交条件を用いると直交軌線の微分方程式は dr/dθ=r cotθ となります。
これを解くことで、求める直交軌線は r=Csinθ となります。極座標の直交軌線問題では、微分方程式の作成と直交条件の適用が最も重要なポイントです。
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