極座標で表された曲線群の直交截線（直交軌道）を求める問題は、微分方程式と極座標の接線方向の関係を理解しているかを問う典型問題です。ここでは曲線群r=e^αθ（αは助変数）について、直交截線を導く過程を順を追って解説します。
与えられた曲線群の特徴
問題で与えられている曲線群は
r=e^αθ
です。
両辺の対数をとると
log r=αθ
となります。
これはαの値によって形が変化する対数螺旋の族を表しています。
まずは助変数αを消去して微分方程式を作ります。
助変数を消去して微分方程式を作る
log r=αθより
α=(log r)/θ
です。
一方、r=e^αθをθで微分すると
dr/dθ=αr
となります。
ここにα=(log r)/θを代入すると
dr/dθ=(r log r)/θ
を得ます。
これが与えられた曲線群を表す微分方程式です。
極座標における直交条件
極座標曲線r=f(θ)では、動径と接線のなす角ψについて
tanψ=r/(dr/dθ)
が成り立ちます。
直交截線では接線方向が90°異なるため
tanψ’=-1/tanψ
となります。
したがって直交軌道の微分方程式は
r/(dr’/dθ)=-dr/dθ/r
です。
整理すると
dr’/dθ=-r²/(dr/dθ)
となります。
直交截線の微分方程式を解く
元の曲線群では
dr/dθ=(r log r)/θ
でした。
したがって直交軌道については
dr/dθ=-rθ/(log r)
となります。
変数分離すると
(log r)/r dr=-θ dθ
です。
両辺を積分すると
(1/2)(log r)²=-(1/2)θ²+C
を得ます。
よって
(log r)²+θ²=C
となります。
直交截線の形を考察する
求めた結果
(log r)²+θ²=C
は極座標で表された直交軌道の族です。
さらに書き換えると
log r=±√(C-θ²)
となり、
r=e^(±√(C-θ²))
とも表せます。
元の曲線群が対数螺旋であるのに対し、直交軌道はlog rとθの平面では円を表す関係式になります。
記述式答案の例
与えられた曲線群r=e^αθより、log r=αθである。
したがってα=(log r)/θ。
両辺をθで微分すると
dr/dθ=αr=(r log r)/θ。
極座標の直交軌道は
dr/dθ=-r²/((r log r)/θ)=-(rθ)/(log r)
を満たす。
よって
(log r)/r dr=-θ dθ。
積分して
(1/2)(log r)²=-(1/2)θ²+C。
したがって
(log r)²+θ²=C。
よって求める直交截線は
(log r)²+θ²=C
で与えられる。
まとめ
曲線群r=e^αθは対数螺旋の族です。
助変数αを消去して微分方程式dr/dθ=(r log r)/θを求め、極座標における直交条件を利用すると、直交截線の微分方程式が得られます。
積分の結果、求める直交截線は(log r)²+θ²=Cとなります。極座標の直交軌道では、接線と動径のなす角を利用する方法が非常に有効です。
コメント