函数論では、複素変数の微分を扱う際に、通常の実変数関数とは少し異なる形の極限式が現れます。特にC1級関数では、複素微分可能でなくても方向ごとの極限を計算でき、その結果として Wirtinger 微分を用いた公式が自然に登場します。この記事では、次の極限公式がどのように導かれるのかを丁寧に整理します。
lim[r→0]{(f(z0+re^{iθ})-f(z0))/(re^{iθ})}=f_z(z0)+e^{-2iθ}f_{\bar z}(z0)
まず確認したい「C1級関数」とは
C1級関数とは、偏微分が存在し、しかも連続である関数のことです。
複素数 z=x+iy を使うと、函数 f(z) は実質的には2変数関数 f(x,y) とみなせます。
つまり、
f(z)=f(x+iy)
であり、x方向・y方向の偏微分が連続であるという条件がC1級です。
この条件のおかげで、1次近似（テイラー展開の一次部分）が使えます。
Wirtinger微分を整理する
函数論では、通常の偏微分を次の形に組み直します。
f_z=1/2(f_x-if_y)
f_{\bar z}=1/2(f_x+if_y)
これをWirtinger微分と呼びます。
複素解析では、この2つを使うと式が非常に整理しやすくなります。
特に正則関数では、
f_{\bar z}=0
となるのが重要です。
C1級なら一次近似が使える
C1級なので、z0 の近くで
f(z0+h)=f(z0)+f_z(z0)h+f_{\bar z}(z0)\bar h+o(|h|)
という一次近似が成立します。
ここで、
h=re^{iθ}
と置きます。
すると共役複素数は、
\bar h=re^{-iθ}
になります。
したがって、
f(z0+re^{iθ})=f(z0)+f_z(z0)re^{iθ}+f_{\bar z}(z0)re^{-iθ}+o(r)
を得ます。
両辺を re^{iθ} で割る
問題の式に合わせるため、
(f(z0+re^{iθ})-f(z0))/(re^{iθ})
を計算します。
先ほどの展開を代入すると、
=f_z(z0)+f_{\bar z}(z0)(re^{-iθ}/re^{iθ})+o(r)/(re^{iθ})
となります。
ここで、
re^{-iθ}/re^{iθ}=e^{-2iθ}
なので、
=f_z(z0)+e^{-2iθ}f_{\bar z}(z0)+o(1)
となります。
最後に r→0 をとれば、
lim[r→0]{(f(z0+re^{iθ})-f(z0))/(re^{iθ})}=f_z(z0)+e^{-2iθ}f_{\bar z}(z0)
が示されます。
なぜ e^{-2iθ} が現れるのか
この式で最も不思議に見えるのが e^{-2iθ} です。
しかし実際には、
\bar h/h
を計算しているだけです。
h=re^{iθ}
なら、
\bar h=re^{-iθ}
なので、
\bar h/h=e^{-2iθ}
になります。
つまり、この指数部分は「複素共役の向きの違い」が原因です。
正則関数ならどうなるか
もし f が正則なら、コーシー・リーマン方程式により
f_{\bar z}=0
です。
すると極限式は、
lim[r→0]{(f(z0+re^{iθ})-f(z0))/(re^{iθ})}=f_z(z0)
となり、方向 θ に依存しません。
これは複素微分可能性の本質です。
逆に、方向によって値が変わるなら、一般には正則ではありません。
具体例で確認してみる
例えば、
f(z)=\bar z
を考えます。
このとき、
- f_z=0
- f_{\bar z}=1
です。
したがって公式より、
lim[r→0]{(f(z0+re^{iθ})-f(z0))/(re^{iθ})}=e^{-2iθ}
となります。
実際、方向 θ によって値が変化しています。
これは \bar z が正則でないことを表しています。
まとめ
C1級関数では、一次近似を使うことで複素方向の極限を計算できます。その際、Wirtinger微分 f_z と f_{\bar z} を用いると、複素数特有の構造が自然に現れます。特に e^{-2iθ} は、h と共役複素数 \bar h の比から生まれる項です。また、正則関数では f_{\bar z}=0 となるため、極限値が方向に依存しなくなります。これは複素解析における「微分可能性」の重要な特徴です。
コメント