函数論では、整級数 ∑[n=0,∞](i^n+n)z^n の収束範囲と和を求めることが基本的な課題です。この記事では、この級数の収束半径を求める方法と、和を計算する手順について解説します。
収束半径の求め方
まず、与えられた級数を2つの部分に分けます。
∑ i^n z^n と ∑ n z^n に分解することで、それぞれの収束半径を求めやすくなります。
1つ目の ∑ i^n z^n は |i z| < 1 となるとき収束します。したがって |z| < 1 です。
2つ目の ∑ n z^n は幾何級数の微分を利用し、収束条件は |z| < 1 となります。
よって、級数全体の収束半径 R は 1 です。
級数の和の求め方
次に、和を求めます。
∑ i^n z^n は等比級数の和として ∑ i^n z^n = 1/(1-i z) となります。
∑ n z^n は幾何級数 ∑ z^n = 1/(1-z) を微分すると ∑ n z^n = z/(1-z)^2 となります。
したがって、元の級数の和は以下の形で表せます。
∑[n=0,∞](i^n+n) z^n = 1/(1-i z) + z/(1-z)^2
まとめ
- 収束半径 R = 1
- 級数の和 = 1/(1-i z) + z/(1-z)^2
この方法を用いれば、複雑な係数を持つ整級数も既知の級数展開や微分を利用して和を求めることが可能です。
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