与えられた積分 ∫dx/((4-3x²)√(3+4x²)) は、平方根を含む二次関数の組み合わせで、直接積分するのは難しい形です。こうした積分では、三角置換や双曲線関数の置換を用いると解きやすくなります。
三角置換の考え方
√(3+4x²) の形に注目し、x = (√3/2)tanθ と置換すると dx = (√3/2)sec²θ dθ となり、√(3+4x²) = √3 secθ に変形できます。
積分は ∫((√3/2)sec²θ dθ) / ((4-3( (√3/2)tanθ )²)√3 secθ) となり、三角関数の簡単な式に整理できます。
積分の簡略化
置換後、分母の 4-3x² は 4-3(3/4)tan²θ = 4-9/4 tan²θ = (16-9 tan²θ)/4 と簡略化されます。
したがって、積分は三角関数の有理関数の形に変形され、標準的な積分公式を用いて解くことが可能です。
結果の表現
最終的には、arctan や log 関数を含む形で積分結果を表すことが多く、初等関数で表現可能です。
まとめ
・積分 ∫dx/((4-3x²)√(3+4x²)) は平方根と二次式の組み合わせ。
・x = (√3/2)tanθ の三角置換で √(3+4x²) を簡略化する。
・分母の 4-3x² も三角関数で表現でき、積分は初等関数（arctan, log）で表現可能。
・直接積分は難しいため、三角置換や双曲線置換を利用するのが基本的アプローチ。
コメント