大学数学

リーマン多様体の研究において、指数写像を用いた正規座標系は局所的にユークリッド空間に近似できる重要な道具です。特に、点pを中心とする正規座標系では、pでの計量テンソルが標準的な単位行列となることが知られています。ここでは、その示し方をステッ...

大学1年で数学や物理の履修を取らなかった場合でも、大学院進学に必要なら独学で十分取り返すことは可能です。むしろ、大学院受験では「授業を受けたか」よりも、「内容を理解して問題を解けるか」が重要になります。ただし、高校物理からブランクがある状態...

円周率πの小数展開を使った数列の問題では、「切り捨て」と「上限・下限」の違いを正確に理解することが重要です。特に大学初級レベルの集合論や実数論では、最大値と上限は別物として扱われます。この記事では、「円周率の小数展開において、第(n+1)位...

「歴代で最も偉大な数学者は誰か？」という問いは、数学好きの間で昔から議論されてきたテーマです。スポーツ選手の“GOAT論争”のように、時代や分野によって評価基準が異なるため、唯一絶対の答えがあるわけではありません。しかし、多くの数学史の書籍...

微分方程式や曲線論では、「ある曲線群に常に直交して交わる曲線」を求める問題がよく登場します。これを直交截線（ちょっこうせっせん）と呼びます。特に、「頂点と主軸を共有する放物線群」の直交截線は、計算だけでなく図形的な理解も重要な典型問題です。...

函数論や複素解析では、複素平面上の「対称移動」や「鏡映」の考え方が頻繁に登場します。特に、複素共役を含む直線方程式 ᾱz+αz̄+c=0（|α|=1, c∈R）に関して、2点 z1,z2 が対称である条件を求める問題は典型的です。この記事...

函数論や複素解析では、「円を円に写す1次変換（メビウス変換）」を求める問題が頻出です。特に、2つの円を同心円へ写す問題では、円の共有点や内部構造をどう扱うかが重要になります。この記事では、\を、\という同心円へ写す1次変換\を求める方法を、...

可測関数の証明では、「開集合の逆像が可測集合になる」という定義をどう使えばよいのか悩む人が多いです。特に、実数値関数から複素数値関数へ拡張するときは、位相空間の連続性と可測性の関係を理解することが重要になります。この記事では、可測空間 \(...

現在の高校数学では、以前のように「行列」を本格的に学ぶ機会が少なくなっています。そのため、「大学の数学科へ進む人は、行列をどこで学ぶの？」「行列式や線形代数は急に大学で始まるの？」と不安に感じる人も少なくありません。特に数学科では、行列や線...

大学数学の本を見ていると、「集合論」「位相幾何学」とは別に、「集合と位相」というタイトルのテキストを見かけることがあります。すると、「これは集合論と位相幾何学の中間分野なの？」「その前段階の大きな内容があるの？」と疑問に感じる人も少なくあり...