大学数学

数列の極限を証明するとき、比の極限から元の数列の収束を示す問題は、ε-N論法の理解において重要な例題です。特に「隣り合う項の比が0に近づくならば、数列そのものも0に近づく」という性質は、数列の減少速度を考えるうえでよく利用されます。この記事...

大学の確率統計では、公式や計算方法を覚えるだけではなく、「その数式が何を意味しているのか」を理解することが重要です。特に条件付き期待値、たたみこみ、標本分散の期待値、多変数確率変数などは、式変形だけを追うと何を計算しているのか分からなくなり...

線形代数では、行列の積についてPQ=QPが成り立つ場合があります。この条件を見ると、逆行列の関係なのか、それとも別の意味があるのか疑問に感じることがあります。しかし、PQ=QPという関係は「行列が交換可能である」という意味であり、逆行列であ...

工学部の電気電子系（電電）では、微積分や線形代数、微分方程式などの大学数学が専門科目の土台になります。しかし、単位取得を優先して暗記中心で乗り切ってしまい、卒業前になって「数学の基礎が身についていない」と感じる学生は少なくありません。大学数...

「1+2+3+4+5+…」という自然数を無限に足し続けると「-1/12になる」という話を聞いたことがある人は多いでしょう。しかし、普通に考えると正の数を足しているのに負の数になるため、直感的には間違いのように感じます。実はこの話は、通常の意...

テイラー展開は公式を暗記しただけでは、展開する対象がf(x+a)や複雑な式になった瞬間に混乱しやすい分野です。しかし、テイラー展開の本質は「ある点の近くで関数を多項式で近似する」という考え方にあります。この記事では、テイラー展開の基本公式だ...

大学数学の問題は、高校数学のように公式を当てはめるだけでは解けないものが多くあります。特に解析学、線形代数、代数学などでは、問題文の条件を正しく読み取り、どの定理や考え方を使うべきか判断する力が必要になります。この記事では、大学数学の難しい...

逆三角関数を含む不定積分は、置換積分や部分積分を組み合わせて解くことが多く、計算の流れを理解することが重要です。今回は、(arcsin x)^2および(arcsin x)^3の不定積分について、部分積分を利用した基本的な解法を解説します。a...

微分方程式や関連する積分問題では、xとyが組み合わされた式を見たときに、変数の比を利用した置換を行うことで計算しやすくなる場合があります。今回は y²(x-y)=x² という関係式から、∫dx/y² を求める流れを解説します。ポイントは y...

有理関数の積分では、分母の形によって部分分数分解の形が決まり、積分結果に対数や逆三角関数などが現れることがあります。今回は、∫(ax²+bx+c)/((x-p)²(x-q)²)dxがどのような条件で有理関数になるのかを、分母の構造と部分分数...