微分方程式や関連する積分問題では、xとyが組み合わされた式を見たときに、変数の比を利用した置換を行うことで計算しやすくなる場合があります。今回は y²(x-y)=x² という関係式から、∫dx/y² を求める流れを解説します。ポイントは y/x の置換によってxとyの関係を整理することです。
与えられた関係式を確認する
与えられている式は、
y²(x-y)=x²
です。
この式はxとyの次数がそろった同次形の式になっています。同次形の場合、y/xまたはx/yを置換すると整理できることが多いため、今回は、
u=y/x
とおきます。
y=uxとして式を変形する
u=y/xより、
y=ux
となります。
これをもとの式へ代入すると、
(ux)²(x-ux)=x²
となります。
整理すると、
u²x²・x(1-u)=x²
つまり、
u²x³(1-u)=x²
となります。
x≠0として両辺をx²で割ると、
u²x(1-u)=1
したがって、
x=1/{u²(1-u)}
が得られます。
求める積分をuを使った形に変換する
求める積分は、
∫dx/y²
です。
y=uxなので、
y²=u²x²
となります。
したがって、
∫dx/y²=∫dx/(u²x²)
となります。
ここで、xとuの関係式を利用してdxを求めます。
xとuの微分関係を求める
x=1/{u²(1-u)}とおくと、
x=u-2(1-u)-1
です。
対数微分を利用すると計算が簡単になります。
log x=-2log u-log(1-u)
両辺をuで微分すると、
(1/x)(dx/du)=-2/u+1/(1-u)
となります。
よって、
dx/x=(-2/u+1/(1-u))du
が得られます。
積分を計算する
先ほど求めた関係を使います。
∫dx/(u²x²)=∫(1/u²x)・(dx/x)
となります。
ここで、x=1/{u²(1-u)}なので、
1/(u²x)=1-u
となります。
したがって、
∫dx/y²=∫(1-u)(-2/u+1/(1-u))du
となります。
展開すると、
=∫(-2(1-u)/u+1)du
=∫(-2/u+2+1)du
=∫(-2/u+3)du
となります。
よって積分結果は、
-2log|u|+3u+C
です。
最後にuを元に戻す
u=y/xなので、
-2log|y/x|+3y/x+C
となります。
これが y²(x-y)=x² の条件のもとで求める積分の結果です。
必要に応じて対数の性質を使えば、log|x/y|の形などに変形することもできます。
まとめ｜同次形の関係式ではy/xの置換が有効
y²(x-y)=x²のようにxとyが同じ比率で構成されている式では、u=y/xと置くことで計算を整理できます。
今回の問題では、y=uxとしてxをuの関数に変換し、dxとy²の関係を作ることで積分を1変数の形に変換しました。
同次形の積分や微分方程式では、まず式の次数や形を確認し、適切な置換を選ぶことが解答への近道になります。
コメント