大学数学 非線形微分方程式の平衡点の求め方と安定性解析｜dx/dt=y, dy/dt=-y-x(x-1)の解法
非線形の2階微分方程式や連立微分方程式では、平衡点（定常点）を求め、その周辺で解がどのような挙動を示すかを調べることで安定性を判断できます。今回は連立常微分方程式 dx/dt=y、dy/dt=-y-x(x-1) について、平衡点の求め方と線...
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大学数学 非線形微分方程式系 dx/dt=-y-ax(x²+y²), dy/dt=x+ay(x²+y²) の原点の漸近安定性を調べる方法
非線形微分方程式系の平衡点の安定性を調べる問題では、線形化だけでは十分な判断ができない場合があります。特に極座標変換やリアプノフ関数を利用すると、原点が安定なのか、漸近安定なのか、不安定なのかを明確に判断できます。この記事では、dx/dt=...
大学数学 微分方程式系 dx/dt=-y, dy/dt=-x^3+y^3 の原点0の安定性を調べる方法
非線形微分方程式系の平衡点の安定性を調べる問題では、線形化だけでは判断できない場合があります。特に原点のような平衡点では、ヤコビ行列による判定が不十分になることがあり、リアプノフ関数などを用いた解析が必要になります。この記事では、微分方程式...
大学数学 線形代数のindepとは何か？rankとの違いと一次独立を判定する方法を解説
線形代数の問題では、行列やベクトルに関する記号が多く登場します。その中でも「indep{}」という表記を初めて見ると、「rankを求める問題なのか」「何をすればよいのか」と迷うことがあります。indepは線形代数でよく使われる略記で、ベクト...
大学数学 特異点z=0を持つ微分方程式系のモノドロミー行列の求め方｜行列指数関数と固有値を用いた解法
微分方程式系のモノドロミー行列は、特異点の周囲を一周したときに解がどのように変化するかを表す重要な概念です。特にdz/dz型の方程式では、行列の固有値や行列指数関数を利用することで具体的に求めることができます。ここでは、行列Aが与えられた場...
大学数学 大学数学は難しい？教育学部数学科で単位を取るために必要な勉強法と難易度を解説
大学数学は高校数学とは大きく内容が変わるため、進学前に「授業についていけるのか」「単位を落として卒業できなくならないか」と不安になる人は少なくありません。この記事では、大学数学の難しさの理由や、教育学部数学科で学ぶ内容、単位取得のために必要...
大学数学 『Linear Algebra Done Right』の思想に近い線形代数の和書を探す｜初学者向けおすすめ入門書
線形代数を学ぶ際、計算手順を覚えるだけではなく、ベクトル空間や線形写像といった本質的な考え方を理解したい人も多くいます。『Linear Algebra Done Right』は、行列計算よりも抽象的な構造や理論を重視した線形代数の教科書とし...
大学数学 3歳で大学数学や量子力学を理解する天才は記号をどう学ぶのか？驚異的な学習能力の秘密を解説
幼い年齢で大学数学の教科書を読んだり、難しい物理の問題を解いたりする天才の話を聞くと、「まだ習っていない記号や専門用語をどうやって理解しているのか」と疑問に感じることがあります。実際には、突然すべてを理解しているわけではなく、本人の興味や学...
大学数学 微分方程式系dx/dz=(1/z)Axのモノドロミー行列の求め方｜行列A=(8 5; -10 -7)の場合を解説
微分方程式系dx/dz=(1/z)Axのような形では、特異点z=0のまわりで解を一周させたときにどのような変化が起こるかを調べるため、モノドロミー行列を求めます。この記事では、行列AがA=,]で与えられた場合について、固有値計算からジョルダ...
大学数学 正則特異点を持つ微分方程式系のモノドロミー行列の求め方｜dx/dz=(1/z)Axの場合を解説
微分方程式系dx/dz=(1/z)Axのような形は、複素解析や常微分方程式論で現れる代表的な正則特異点の問題です。特にz=0のまわりを一周したとき、解がどのように変化するかを表すモノドロミー行列を求めるには、行列Aの固有値や行列指数関数を利...