大学数学

経済学入門で頻出する「45度分析」と「有効需要の原理」は、国民所得がどのように決まるのかを理解するための基本的な考え方です。特にケインズ経済学では、企業の生産量や所得水準は需要によって決定されると考えます。この記事では、45度分析のグラフの...

三角関数の逆関数は、微積分や数学を学ぶ中で混乱しやすいテーマの一つです。特に「y=sinxの逆関数はx=sinyではないのか」「なぜsinの右上に−1が付くのか」という疑問は、多くの人が一度は迷うポイントです。この記事では、逆関数の基本的な...

旧帝大レベルの大学院入試、特に数学や理論物理のような高度な専門分野では、学部試験のように暗記や典型問題の練習だけでは対応できません。では、教科書を最初から最後まで完全に理解するべきなのか、それとも過去問分析を中心に対策するべきなのか、悩む人...

数学や解析学で使われるランダウの記法（小さいo記法）では、式変形の途中で「o(x^3)」が「o(x^4)」に変わることがあります。この変化を見ると、誤植ではないか、なぜ次数が変わったのかと疑問に感じることがあります。しかし、小さいo記法には...

数学の問題では、「なぜこの変形ができるのか」「どんな条件なら成り立つのか」といった成立条件を考える場面があります。また、できない例（反例）を探すことで、公式や性質が使える範囲を正しく理解できます。この記事では、ある計算や変形、性質が成立する...

コラッツ予想は、非常に単純なルールから始まるにもかかわらず、現在も証明されていない有名な数学の未解決問題です。そのため、「これほど難しい問題に挑戦する人は、本当に解決が可能だと思っているのか」「無限に続く問題であることを理解していないのでは...

圏論は現代数学の多くの分野をつなぐ共通言語として発展してきました。抽象度が高いため難しく感じられますが、実際には代数学・幾何学・位相幾何学・数理論理学など、さまざまな分野と深く関係しています。特に表現論との関係については、多くの数学者が圏論...

日本のそろばんを見ると、上に1つの珠、下に4つの珠が並んでいるため、「これは五進法で計算しているのではないか」と疑問に思う人もいます。しかし、そろばんの仕組みは五進法ではなく、基本的には十進法を扱うための計算道具です。この記事では、なぜそろ...

非線形微分方程式の平衡点や安定性を調べる問題では、まず平衡点の条件を求め、その後で線形化やエネルギー関数などを用いて挙動を解析します。特に線形化できない非線形系では、単純な固有値判定だけでは判断できない場合があります。この記事では、連立微分...

非線形の連立微分方程式では、平衡点を求めた後、その周囲で解がどのように変化するかを調べることで安定性を判断できます。今回は dx/dt=y、dy/dt=-y-x(1-x) という2次元の力学系について、平衡点の求め方とヤコビ行列を用いた安定...