数学や解析学で使われるランダウの記法（小さいo記法）では、式変形の途中で「o(x^3)」が「o(x^4)」に変わることがあります。この変化を見ると、誤植ではないか、なぜ次数が変わったのかと疑問に感じることがあります。
しかし、小さいo記法には「どの程度小さい量なのか」を表す独特の性質があります。この記事では、o(x^3)とo(x^4)の関係や、次数が変化する条件についてわかりやすく解説します。
小さいo記法（o記法）とは何か
小さいo記法は、ある関数が別の関数と比べてどれくらい小さいかを表すための記号です。
例えば、
f(x)=o(x^3)
とは、xが0に近づくとき、
f(x)÷x^3→0
になることを意味します。
つまり、f(x)はx^3よりもさらに速く0に近づく小さな量である、という意味になります。
o(x^4)はo(x^3)よりも小さい範囲を表す
小さいo記法では、次数が大きくなるほど、より小さい量を表します。
xが0に近づく場合を考えると、
x^4はx^3よりも速く0に近づきます。
例えばx=0.1の場合、
x^3=0.001
x^4=0.0001
となり、x^4のほうが小さい値になります。
そのため、
o(x^4)はo(x^3)に含まれる
という関係があります。
o(x^3)からo(x^4)になる理由
o(x^3)からo(x^4)に変化する場合、多くの場合は途中で「x^3よりもさらに小さい項」であることが分かったためです。
例えば、ある式の余りの項が、実際には
R(x)=x^4・g(x)
のように表せる場合があります。
このとき、R(x)はx^4の定数倍以下の大きさなので、
R(x)=o(x^4)
と書くことができます。
最初の段階では「少なくともx^3より小さい」と考えてo(x^3)としていたものが、詳しく調べることで「実はx^4よりも小さい」と分かり、o(x^4)へ変更されることがあります。
テイラー展開でよく起こる次数変更
o(x^3)からo(x^4)への変化は、特にテイラー展開やマクローリン展開でよく見られます。
例えば、関数を展開したとき、
f(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)
のように書かれていたとします。
もしx^3の項まで正確に取り出し、その次の誤差がx^4程度になることが分かった場合、
f(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^4)
と書き換えられます。
これは近似の精度が上がったことを意味します。
注意：いつでもo(x^3)をo(x^4)にできるわけではない
重要なのは、単純に次数を大きくしてよいわけではないという点です。
例えば、
f(x)=x^3
の場合、
x^3=o(x^3)
ではありません。
なぜなら、x^3÷x^3=1となり、0に近づかないからです。
また、o(x^3)と書かれているだけでは、それが必ずo(x^4)になるとは限りません。
o(x^4)と言うためには、実際にx^4よりも小さいことを確認する必要があります。
o(x^3)とo(x^4)の関係を理解するポイント
小さいo記法を理解するときは、「次数が大きいほど誤差が小さい」という感覚を持つことが大切です。
0付近では、
x^5よりもx^4が大きく、x^4よりもx^3が大きい
という大小関係になります。
そのため、
o(x^5) ⊂ o(x^4) ⊂ o(x^3)
という包含関係になります。
式変形でo(x^3)がo(x^4)になっている場合は、「より細かく誤差を評価できるようになった」と考えると理解しやすくなります。
まとめ
o(x^3)からo(x^4)になるのは、誤差の評価がより厳密になり、実際にはx^4よりも小さい量だと分かった場合です。
小さいo記法では、次数が大きくなるほど小さい量を表します。そのため、o(x^4)はo(x^3)よりも条件が厳しい表現になります。
ただし、単純に次数を書き換えてよいわけではなく、本当にx^4より小さいことを確認する必要があります。テイラー展開などでは、この考え方を使って近似の精度を表しています。
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