非線形微分方程式の平衡点や安定性を調べる問題では、まず平衡点の条件を求め、その後で線形化やエネルギー関数などを用いて挙動を解析します。特に線形化できない非線形系では、単純な固有値判定だけでは判断できない場合があります。
この記事では、連立微分方程式 dx/dt=y、dy/dt=-x^3 の平衡点を求め、周囲の解軌道がどのような動きをするのかを詳しく解説します。
平衡点とは何か
平衡点とは、時間が経過しても状態が変化しない点のことです。連立微分方程式
dx/dt=f(x,y)、dy/dt=g(x,y)
で表される系では、平衡点は両方の微分が0になる場所、つまり
f(x,y)=0、g(x,y)=0
を満たす点として求められます。
今回の微分方程式は
dx/dt=y
dy/dt=-x^3
なので、平衡点では
y=0、-x^3=0
となる必要があります。
平衡点を求める
条件式から順番に解いていきます。
まず、y=0です。また、-x^3=0より
x^3=0
となるため、x=0となります。
したがって平衡点は
(x,y)=(0,0)
の1つだけです。
つまり、この系では原点以外に静止した状態は存在しません。
線形化による安定性の確認
一般的な方法では、平衡点付近でヤコビ行列を用いて線形化し、固有値を調べます。
今回の関数は
f(x,y)=y
g(x,y)=-x^3
なので、ヤコビ行列は
J(x,y)=
[[∂f/∂x, ∂f/∂y], [∂g/∂x, ∂g/∂y]]
となります。
各偏微分を求めると
∂f/∂x=0、∂f/∂y=1
∂g/∂x=-3x^2、∂g/∂y=0
です。
平衡点(0,0)で評価すると
J(0,0)=
[[0,1],[0,0]]
になります。
この行列の固有値は
λ^2=0
より、
λ=0
です。
固有値が0になるため、通常の線形化による安定性判定は利用できません。このような場合は非線形項を考慮する必要があります。
エネルギー関数を使った安定性解析
この微分方程式は力学系として見ることができます。
1つ目の式から
y=dx/dt
なので、さらに微分すると
d²x/dt²=dy/dt
となります。
2つ目の式より
d²x/dt²=-x^3
となるため、
d²x/dt²+x^3=0
という形になります。
これはポテンシャルエネルギーを持つ保存系です。エネルギー関数を
E=1/2 y²+1/4 x⁴
と置きます。
ここで、第一項は運動エネルギー、第二項はポテンシャルエネルギーに対応します。
エネルギーが一定であることを確認する
エネルギーEを時間で微分すると、
dE/dt=y(dy/dt)+x³(dx/dt)
となります。
微分方程式より
dy/dt=-x³、dx/dt=y
なので代入すると、
dE/dt=y(-x³)+x³y=0
になります。
つまりエネルギーは時間が経過しても変化せず、解は一定のエネルギー曲線上を動きます。
平衡点の安定性
原点付近では、エネルギー
E=1/2 y²+1/4 x⁴
は常に0以上であり、原点でのみ0になります。
また、原点から少し離れた状態ではエネルギーが小さい一定値を保ちながら、その周囲を運動します。
このことから、原点から十分近い初期状態を選ぶと、その解は原点の近くに留まり続けます。
したがって、平衡点(0,0)は安定です。
ただし、エネルギーが減少して原点へ収束するわけではありません。振動しながら近くを回るため、漸近安定ではありません。
まとめ
微分方程式
dx/dt=y、dy/dt=-x^3
の平衡点は、両方の微分を0にすることで求まり、
(0,0)
のみとなります。
線形化すると固有値がすべて0になるため、通常の固有値による判定はできません。しかし、エネルギー関数
E=1/2 y²+1/4 x⁴
を用いることで、原点周辺の解は近くに留まり続けることが分かります。
したがって、この平衡点は安定だが漸近安定ではないという結論になります。非線形微分方程式では、線形化だけで判断できない場合があるため、エネルギー法など別の解析方法を使うことが重要です。
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