非線形の2階微分方程式や連立微分方程式では、平衡点（定常点）を求め、その周辺で解がどのような挙動を示すかを調べることで安定性を判断できます。今回は連立常微分方程式 dx/dt=y、dy/dt=-y-x(x-1) について、平衡点の求め方と線形化による安定性判定の流れを解説します。
このような問題では、平衡点で微小なずれが時間とともに小さくなるか、それとも大きくなるかを見ることが重要です。具体的な計算手順を確認しながら、非線形系の解析方法を理解していきましょう。
連立微分方程式の平衡点とは
平衡点とは、時間が経過しても状態が変化しない点のことです。連立微分方程式の場合、すべての時間微分が0になる点を探します。
今回の方程式は、
dx/dt=y
dy/dt=-y-x(x-1)
という形です。
平衡点では、xとyが一定になるため、dx/dt=0、dy/dt=0を満たす必要があります。
平衡点を求める計算
まず、dx/dt=y=0となるため、平衡点ではy=0です。
次に、dy/dt=-y-x(x-1)=0にy=0を代入します。
すると、
-0-x(x-1)=0
となり、
x(x-1)=0
を解けばよいため、
x=0、またはx=1
となります。
したがって、この連立微分方程式の平衡点は、
(x,y)=(0,0)、(1,0)
の2つです。
安定性を調べるための線形化
非線形方程式の安定性を調べる場合、平衡点付近で線形近似を行います。右辺をベクトル場として、ヤコビ行列を求めます。
右辺を、
f(x,y)=y
g(x,y)=-y-x(x-1)
とおきます。
ヤコビ行列は、
J(x,y)=
[[∂f/∂x, ∂f/∂y],
[∂g/∂x, ∂g/∂y]]
です。
それぞれの偏微分を計算すると、
∂f/∂x=0
∂f/∂y=1
∂g/∂x=-(2x-1)
∂g/∂y=-1
したがって、
J(x,y)=
[[0,1],[-(2x-1),-1]]
となります。
平衡点(0,0)の安定性
まず、平衡点(0,0)でヤコビ行列を評価します。
J(0,0)=
[[0,1],[1,-1]]
この行列の固有値を求めるため、
|J-λI|=0
を計算します。
つまり、
|-λ,1;1,-1-λ|=0
より、
λ(1+λ)-1=0
となります。
整理すると、
λ²+λ-1=0
です。
解の公式より、
λ=(-1±√5)/2
となります。
この2つの固有値は、
λ₁=(-1+√5)/2>0、λ₂=(-1-√5)/2<0
となり、正と負の固有値を1つずつ持ちます。
したがって(0,0)は鞍点です。
鞍点では、一部の方向では近づきますが、別の方向では離れていくため、安定ではありません。
平衡点(1,0)の安定性
次に平衡点(1,0)でヤコビ行列を評価します。
J(1,0)=
[[0,1],[-1,-1]]
固有方程式は、
|-λ,1;-1,-1-λ|=0
となります。
計算すると、
λ(1+λ)+1=0
つまり、
λ²+λ+1=0
です。
解の公式から、
λ=(-1±√(1-4))/2
となり、
λ=(-1±i√3)/2
を得ます。
固有値の実部は、
-1/2<0
であるため、解は平衡点へ近づく傾向があります。
したがって、(1,0)は安定な渦状点（安定焦点）です。
物理的なイメージで見る安定性
(0,0)では、少しずれた状態から出発すると、ある方向には元に戻りますが、別の方向には離れていきます。そのため、完全には安定していません。
一方、(1,0)では周囲の軌道が中心へ巻き込まれるような動きをします。これは摩擦のある振動系が徐々に静止状態へ近づくようなイメージです。
非線形微分方程式では、このように平衡点の周囲の動きを調べることで、系全体の性質を理解できます。
まとめ
連立微分方程式 dx/dt=y、dy/dt=-y-x(x-1) の平衡点は、(0,0)と(1,0)の2つです。
ヤコビ行列を用いて線形化すると、(0,0)では固有値が正負になるため鞍点で不安定、(1,0)では固有値の実部が負になるため安定な渦状点と判断できます。
このように、非線形微分方程式の安定性解析では、平衡点を求めた後、ヤコビ行列と固有値を調べることが基本的な手順になります。
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