自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすとき、a,b,cの中に必ず偶数があることを証明する問題は、背理法を使った典型的な整数論の例です。この記事では、なぜ背理法のアプローチが正しいのかを詳しく解説します。
背理法の仮定
まず、a,b,cのすべてが奇数であると仮定します。すなわち、整数k,l,mを用いて
a=2k+1, b=2l+1, c=2m+1
と表します。
平方を展開する
各平方を展開すると
a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1
b^2=(2l+1)^2=4l^2+4l+1
c^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1
です。
式を代入して整理する
a^2+b^2=c^2に代入すると
(4k^2+4k+1)+(4l^2+4l+1) = 4m^2+4m+1
左辺をまとめると
4(k^2+k+l^2+l)+2 = 4m^2+4m+1
両辺を整理すると
4(k^2+k+l^2+l-m^2-m)= -1
となります。
矛盾の発見
左辺は4で割れる数ですが、右辺は-1で割れません。整数の範囲でこの等式を満たす組み合わせは存在しません。
結論
したがって、仮定した「a,b,cがすべて奇数である」という条件は間違いであることが分かります。よって、自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たす場合、少なくとも1つは偶数であることが証明されました。
まとめ
背理法を使ったあなたの証明は正しいです。重要なポイントは、奇数の平方を展開すると4の倍数に1が加わる形になること、そして左辺が4の倍数で右辺が4で割れない数になることから矛盾を導くことです。これにより、a,b,cの中に必ず偶数が存在することが確認できます。
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