正則微分とWirtinger微分の違いと計算方法の解説

大学数学

2026.06.07

複素解析における微分にはいくつかの種類があり、特に正則微分とWirtinger微分は混同されやすいものです。この記事では、それぞれの違いと、複素数とその共役に関する微分の計算方法を具体例を交えて解説します。

1. 正則微分とWirtinger微分の違い

正則微分は、関数f(z)が複素数変数zで正則（holomorphic）である場合に定義されます。定義は

f'(z) = lim_{Δz→0} (f(z+Δz)-f(z))/Δz

の形です。正則でない関数に対しては、この極限は存在せず、微分は定義できません。

一方、Wirtinger微分は複素数zとその共役z*を独立変数として扱い、以下のように定義されます。

∂/∂z = 1/2(∂/∂x – i∂/∂y), ∂/∂z* = 1/2(∂/∂x + i∂/∂y)

この微分では、正則でなくても計算が可能で、特にf(z,z*)の形で与えられた関数に有用です。

複素数z=x+iy, z*=x-iyとして、まず基本の微分を確認します。

dz/dz = 1, dz/dz* = 0, dz*/dz = 0, dz*/dz* = 1

Wirtinger微分では同様に、

∂z/∂z = 1, ∂z/∂z* = 0, ∂z*/∂z = 0, ∂z*/∂z* = 1

となります。つまり、dのときも∂のときも、基本的な関係は同じです。違いは、正則微分で関数が非正則の場合にはdを使った微分が存在しないことがあります。

例としてf(z,z*)=z^2+(z*)^2を考えます。

Wirtinger微分で計算すると

∂f/∂z = 2z, ∂f/∂z* = 2z*

正則微分をzで行う場合、f(z)がz*を含むので正則ではなく、微分は定義されません。このように、dと∂の違いは関数の性質に依存します。

複素解析では、正則微分かWirtinger微分かで結果が異なる場合があります。したがって、質問や計算時にはどの微分を用いるかを明確にすることが望ましいです。一般に、関数がz*に依存する場合はWirtinger微分を使う方が安全です。

正則微分は正則関数に対してのみ定義される微分であり、Wirtinger微分はzとz*を独立変数として定義され、非正則関数にも適用可能です。dz, dz*, ∂z, ∂z*は基本的に1または0となり、計算方法も明確です。質問や練習問題では、どの微分を使うかを明示することが推奨されます。