大学数学

直交截線の問題は、微分方程式の中でも「図形」と「微分」を組み合わせる代表的なテーマです。特に、助変数 α を含む曲線群から微分方程式を作り、それと直交する曲線群を求める流れに苦戦する人は少なくありません。この記事では、2x^2+y^2=αx...

「曲線群の直交截線を求めよ」という問題は、微分方程式の典型問題として大学数学や高度な微積分でよく登場します。特に、媒介変数を含む曲線群から微分方程式を作り、それと直交する曲線を求める流れに苦戦する人は少なくありません。この記事では、x^2/...

微分方程式や曲線群の問題では、「直交截線（ちょっこうせっせん）」を求める問題が頻出です。しかし、助変数 α を含む式になると、どこで微分して、どこで α を消去すればよいのか混乱しやすくなります。この記事では、曲線群 y²(2α-x)=x³...

函数論では、複素変数の微分を扱う際に、通常の実変数関数とは少し異なる形の極限式が現れます。特にC1級関数では、複素微分可能でなくても方向ごとの極限を計算でき、その結果として Wirtinger 微分を用いた公式が自然に登場します。この記事で...

数学において、解析できない点と特異点は似ているようで異なる概念です。特に微分や複素関数の解析で出てくるこれらの点について整理してみましょう。解析できない点とは何か解析できない点とは、その点で関数の微分や連続性が成立しない場所を指します。たと...

何かを学びたいとき、最初に『教えてください』とだけ質問しても、答えを得るのは難しいことがあります。学びを効率的に進めるためには、まず自分の疑問を整理することが大切です。疑問を具体化する方法まず、自分が知りたいことや解決したい問題を具体的に書...

函数論で w = f(z) が (x,y) 平面から (u,v) 平面への C^1 級写像であるとき、ヤコビアン J = |ux uy| / |vx vy| が |f_z|^2 - |f_{\overline{z}}|^2 で表されることを...

函数論において、u=1/2 log(x^2+y^2) が z≠0 で調和であることの確認と、半平面 d={x|x>0} 上で u を実部とする正則関数 f の求め方について解説します。u の調和性の確認関数 u(x,y) = 1/2 log...

経済数学の問題で、3人のプレイヤー A, B, C がランダムに勝つゲームを中断した場合の賞金分配について、フェルマー法を用いて公平な配分を求めます。ここでは、Aがあと1勝、BとCがあと2勝必要な状況で、総賞金1をどのように分けるかを考えま...

積分 ∫_0^∞ log(x)/(x⁴+1) dx は、複素解析の手法を用いることで効率的に評価できます。今回は偏角の制限を設けた一価の対数関数を使用し、積分路を複素平面上で適切に選ぶ方法について解説します。分解と積分路の設定まず被積分関数...