函数論におけるヤコビアンと複素微分の関係の証明

函数論で w = f(z) が (x,y) 平面から (u,v) 平面への C^1 級写像であるとき、ヤコビアン J = |ux uy| / |vx vy| が |f_z|^2 – |f_{\overline{z}}|^2 で表されることを示す方法について解説します。

写像と複素微分の関係

まず z = x + iy、w = u + iv と書きます。C^1 級の写像では u, v は x, y の関数です。複素変数における微分 f_z, f_{\overline{z}} は次の式で定義されます。

f_z = (u_x + i v_x)/2 + i(u_y + i v_y)/2, f_{\overline{z}} = (u_x – i v_x)/2 – i(u_y – i v_y)/2

ヤコビアンの定義

ヤコビアンは J = |ux uy| / |vx vy| = u_x v_y – u_y v_x で定義されます。これは写像が局所的に面積をどれだけ変化させるかを示します。

複素偏導関数からの導出

f_z と f_{\overline{z}} を使うと、次の関係が成立します。

|f_z|^2 – |f_{\overline{z}}|^2 = (u_x v_y – u_y v_x) = J

計算の流れとしては、f_z = (u_x – v_y)/2 + i(v_x + u_y)/2 などの形に書き換え、絶対値の2乗を計算するとヤコビアンに一致することが確認できます。

例と確認

例えば f(z) = z^2 = (x^2 – y^2) + i 2xy の場合、u_x = 2x, u_y = -2y, v_x = 2y, v_y = 2x です。ヤコビアン J = u_x v_y – u_y v_x = (2x)(2x) – (-2y)(2y) = 4(x^2 + y^2)。

一方、f_z = 2z, f_{\overline{z}} = 0 なので |f_z|^2 – |f_{\overline{z}}|^2 = 4(x^2 + y^2) – 0 = J と一致します。

まとめ

C^1 級写像 w=f(z) のヤコビアンは、複素偏導関数 f_z, f_{\overline{z}} を用いて |f_z|^2 – |f_{\overline{z}}|^2 と表すことができます。この関係により、複素関数の局所的な面積変化が複素微分で簡潔に表現されることがわかります。