直交截線の問題は、微分方程式の中でも「図形」と「微分」を組み合わせる代表的なテーマです。
特に、助変数 α を含む曲線群から微分方程式を作り、それと直交する曲線群を求める流れに苦戦する人は少なくありません。
この記事では、
2x^2+y^2=αx
という曲線群の直交截線を、途中式を省略せずにわかりやすく解説します。
まず曲線群を確認する
与えられた曲線群は
2x^2+y^2=αx
です。
ここで α は助変数であり、α の値を変えることで異なる曲線が得られます。
直交截線を求めるには、まずこの曲線群の接線の傾きを求める必要があります。
両辺を x で微分する
式
2x^2+y^2=αx
を x で微分します。
α は定数として扱います。
すると、
4x+2y(dy/dx)=α
となります。
ここで α を消去するため、元の式を利用します。
助変数 α を消去する
元の式から α を求めます。
2x^2+y^2=αx
より、
α=(2x^2+y^2)/x
です。
これを微分後の式へ代入します。
すると、
4x+2y(dy/dx)=(2x^2+y^2)/x
です。
右辺を分けると、
4x+2y(dy/dx)=2x+y^2/x
となります。
微分方程式を整理する
両辺を整理すると、
2y(dy/dx)=y^2/x-2x
です。
したがって、
dy/dx=y/(2x)-x/y
となります。
これが与えられた曲線群の接線の傾きです。
直交截線の傾きを求める
直交截線では、接線同士が直交するので、傾きの積が -1 になります。
つまり、元の傾きを m とすると、直交截線の傾きは
-1/m
です。
もとの傾き
m=y/(2x)-x/y
を通分すると、
m=(y^2-2x^2)/(2xy)
です。
したがって、直交截線の傾きは
dy/dx=-2xy/(y^2-2x^2)
となります。
同次形として解く
この式は x と y が同じ次数で現れているので、同次形です。
そこで、
y=vx
と置きます。
すると、
dy/dx=v+x dv/dx
です。
また、
y^2=v^2x^2
なので、微分方程式へ代入すると、
v+x dv/dx=-2v/(v^2-2)
です。
変数分離を行う
整理すると、
x dv/dx=-2v/(v^2-2)-v
です。
右辺を通分すると、
x dv/dx=(-2v-v(v^2-2))/(v^2-2)
となります。
さらに整理すると、
x dv/dx=-v^3/(v^2-2)
です。
よって、
(v^2-2)/v^3 dv=-dx/x
となります。
積分して解を求める
左辺を分けると、
(1/v-2/v^3)dv
です。
積分すると、
ln|v|+1/v^2=-ln|x|+C
となります。
ここで v=y/x を戻すと、
ln|y/x|+x^2/y^2=-ln|x|+C
です。
対数部分を整理すると、
ln|y|+x^2/y^2=C
となります。
求める直交截線
したがって、求める直交截線は
ln|y|+x^2/y^2=C
です。
直交截線問題で大切なポイント
この問題では、次の流れが重要になります。
- 曲線群を微分する
- 助変数を消去する
- 元の傾きを求める
- 直交条件から傾きを変換する
- 微分方程式を解く
特に、「傾きを逆数にして符号を変える」という操作が直交条件の核心です。
また、同次形かどうかを見抜けると、計算がかなり楽になります。
まとめ
曲線群 2x^2+y^2=αx の直交截線を求めるには、まず微分して助変数 α を消去し、元の曲線群の傾きを求めます。その後、直交条件から傾きを -1/m に変換し、得られた微分方程式を解きます。今回の問題では同次形への変換がポイントであり、最終的に ln|y|+x^2/y^2=C が直交截線となります。直交截線問題は解法パターンを理解すると一気に解きやすくなる典型問題です。
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