フェルマー法で求める中断ゲームの公平な賞金分配：Aの取り分の計算

経済数学の問題で、3人のプレイヤー A, B, C がランダムに勝つゲームを中断した場合の賞金分配について、フェルマー法を用いて公平な配分を求めます。ここでは、Aがあと1勝、BとCがあと2勝必要な状況で、総賞金1をどのように分けるかを考えます。

ステップ1：勝利条件を整理する

Aはあと1勝、BとCはあと2勝必要です。ゲームは各回で誰が勝つかは同確率です。

つまり、Aが1回勝てば勝利、Bは連続で2回勝たなければ勝利できず、Cも同様です。

ゲームが再開されたとき、Aが勝つシナリオを列挙します。ゲームごとの勝者の確率は 1/3 です。

Aが勝つ可能性は1勝で決まるため、Aが最初の試合で勝てば勝利確定です。もし A が負けた場合、B または C が勝ちます。その後も A が勝つパターンを追って計算します。

フェルマー法では、各プレイヤーが勝つまでに必要な勝利回数を残り回数として考えます。

残り必要勝利数：A=1, B=2, C=2

残り試合は最大 4 回（Aが1勝、BまたはCが2勝まで）と考え、勝敗の組み合わせごとに確率を計算します。

これらを合計すると、A が最終的に勝つ確率。

1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 = 27/81 + 18/81 + 12/81 + 8/81 = 65/81

残りは 1 – 65/81 = 16/81

B と C の勝つ確率は対称なので、各 8/81 となります。

総賞金 1 を勝つ確率に比例して分配します。

中断ゲームの公平な賞金分配は、残り勝利回数と各試合の確率から計算できます。A があと1勝、B と C があと2勝必要な場合、A の分配金は約 0.802、B と C はそれぞれ約 0.099 となります。