数学

ここでは、logx を定義として logx=∫ dt/t としたとき、積の対数の法則 log(xy)=logx+logy が成り立つことを示します。ステップ1：定義から出発logx = ∫ dt/t および logy = ∫ dt/t とし...

連続関数 f(x) の反復積分 fk(x) が次のように表されることを示す方法を解説します。問題設定f1(x)=∫f(t)dt とし、再帰的に fk(x)=∫fk-1(t)dt と定義します。このとき、次を示すことが目標です。fk(x)=∫...

数学が苦手で努力しても結果が出ず、勉強自体が嫌いになってしまった高校生へ。学年最下位からでも抜け出すためには、無理に才能を求めるのではなく、習慣と戦略を変えることが重要です。ここでは数学を苦手とする人向けの具体的な方法を紹介します。まずは心...

整数の余りを求める問題では、分母と分子に共通因数があると約分したくなります。しかし、余りの計算では通常の分数計算とは異なる考え方が必要です。ここでは「2^100を2016で割った余り」を例に、約分してよい場合といけない場合について解説します...

文系数学で初見問題に取り組む際、どの教材を中心に使うかで学習効率が大きく変わります。東京一の『1対1か解法のエウレカ』、自宅にある『マスターキー』、そして『ニューアク』の黄色への接続方法の使い分けについて解説します。初見問題で重要な要素の見...

数学や物理では「○○に比例する」という表現が頻繁に登場します。しかし、文字式に累乗が含まれている場合、「比例する」に含まれるのか迷うことがあります。例えばω²、2ω、-3ωという式があるとき、どれがωに比例すると言えるのでしょうか。この記事...

数列や極限の問題では、積の n 乗根を含む式が頻繁に登場します。特に (n+1)(n+2)…(2n) のような連続積は階乗に変形できるため、対数や積分、スターリングの公式を利用して極限を求めることができます。この記事では、次の極限を丁寧に解...

ルジャンドル多項式は、微分方程式やフーリエ解析、量子力学などで頻繁に登場する重要な直交多項式です。特に大学数学や応用数学では、ルジャンドル多項式同士の内積である ∫Pm(x)Pn(x)dx を求める問題がよく出題されます。この記事では、ロド...

市進学院の「ベーシックトレーニング」のように、数学IAのさまざまな単元がランダムに出題される一行問題集を探している高校生は少なくありません。単元ごとの問題集は多い一方で、学習した内容を横断的に復習できる教材は意外と限られています。この記事で...

中間テストで出題された多項式の問題では、与えられた関係式 f(f(x)) = (f(x))^2 から、実数 x が取りうる値を考えます。ここでは、解法の考え方を段階的に説明します。ステップ1: 関係式の整理与えられた式は f(f(x)) =...