多項式 f(x) が f(f(x)) = (f(x))^2 を満たすときの実数 x の求め方

中間テストで出題された多項式の問題では、与えられた関係式 f(f(x)) = (f(x))^2 から、実数 x が取りうる値を考えます。ここでは、解法の考え方を段階的に説明します。

ステップ1: 関係式の整理

与えられた式は f(f(x)) = (f(x))^2 です。f(x) が多項式であることを利用します。

多項式同士が等しい場合、その次数も一致する必要があります。f(f(x)) の次数は f(x) の次数を n とした場合 n^2 になります。一方、(f(x))^2 の次数は 2n です。したがって n^2 = 2n となり、n=0 または n=2 となります。

ステップ2: 多項式の形を仮定

n=0 の場合、f(x) は定数 c。式 f(f(x)) = (f(x))^2 は c = c^2 となり、c=0 または c=1。

n=2 の場合、f(x) = a x^2 + b x + c と置くことができますが、次数から整合性を考えると、2次の項以外は消える必要があります。したがって、f(x) = a x^2 が基本形です。a^2 x^4 = (a x^2)^2 = a^2 x^4 で整合します。よって a は任意の実数ですが、実際に整数解を求める場合は a=1 で簡単化できます。

ステップ3: 実数 x の取りうる値

定数解の場合: f(x)=0 なら f(f(x))=0=(f(x))^2=0 で全ての x が OK。f(x)=1 なら f(f(x))=1=(f(x))^2=1 で全ての x が OK。

二次解の場合: f(x) = x^2 なら f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4 で、(f(x))^2 = (x^2)^2 = x^4 となり、こちらも全ての実数 x が解になります。

まとめ

以上より、f(f(x)) = (f(x))^2 を満たす多項式 f(x) では、x の取りうる実数はすべての x です。ポイントは多項式の次数の一致と定数・二次形の確認です。