ここでは、logx を定義として logx=∫[1,x] dt/t としたとき、積の対数の法則 log(xy)=logx+logy が成り立つことを示します。
ステップ1：定義から出発
logx = ∫[1,x] dt/t および logy = ∫[1,y] dt/t とします。目標は log(xy) = logx + logy を示すことです。
ステップ2：積の対数を積分で書き換え
log(xy) = ∫[1,xy] dt/t と書けます。この積分区間を分けるために置換を行います。u = t/x とすると、t = xu, dt = x du です。
積分の下限は t=1 で u=1/x、上限は t=xy で u=y となります。
ステップ3：置換による積分の分割
∫[1,xy] dt/t = ∫[1/x,y] x du/(xu) = ∫[1/x,y] du/u
この積分は ∫[1/x,1] du/u + ∫[1,y] du/u に分けられます。最初の積分は u=1/x から u=1 まで、二つ目は u=1 から u=y までです。
ステップ4：積分の性質を利用
∫[1/x,1] du/u = ∫[1, x] dt/t = logx （符号を確認: ∫[1/x,1] du/u = -∫[1,1/x] du/u = ∫[1, x] dt/t）
∫[1,y] du/u = logy です。
ステップ5：結論
したがって、log(xy) = logx + logy が成立することが示されました。
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