大学数学

高校数学や大学初年度の微積分では、一見すると複雑な被積分関数でも適切な置換を行うことで簡潔に解ける場合があります。ここでは、不定積分 ∫(1-x²)/((1+x²)√(1+x⁴))dx を例に、発想から計算過程まで詳しく解説します。問題次の...

4次元球（4次元ボール）の体積は、高次元幾何学においてよく知られた美しい公式で表されます。特に、同じ半径を持つ円の面積との関係を見ると、意外なほど簡潔な結果が得られます。この記事では4次元球の体積公式から出発し、それが円の面積の2乗の何倍に...

数学科で幾何学を志望している学生にとって、線形代数は今後の学習を支える最重要科目の一つです。特に学部3年生になると、単なる計算技術としてではなく、ベクトル空間や線形写像をどれだけ構造的に理解できているかが重要になります。本記事では、復習用の...

数論における余り計算の典型例として、3^100 を 19 で割った余りを求める問題があります。ここでは平方剰余の相互法則を使った解法の考え方を整理します。1. フェルマーの小定理を利用する19 は素数なので、フェルマーの小定理より 3^18...

三次曲線 x^3+y^3-3axy=0 (a≠0) はクラメル曲線として知られ、微分積分の応用問題として出題されることがあります。ここではこの曲線に沿った積分 ∫y dx の求め方について詳しく解説します。1. 曲線の形を確認する与えられた...

測度論において、零測度集合や全測度集合は特殊な性質を持ちます。ここでは、測度空間 (X, F, µ) において G := {A ∈ F | µ(A) = 0 または µ(A^c) = 0} が σ-加法族であることを示す方法を整理します。1...

微分方程式 y = xy' + y' − (y')² の特異解を求める際、解の形に含まれる定数項について疑問を持つ人がいます。例えば y = (x+1)²/4 と答えた場合、解答例では展開して定数項を削除していることがあります。この記事では...

大学で線形代数の単位を落としてしまった場合、卒業が絶望的に思えることもあります。しかし、多くの学生は線形代数を一度落としても無事に卒業しています。大切なのは、落としてしまった科目をどのようにリカバリーするかです。卒業に必要な単位と履修計画の...

「大学数学は机上の空論で役に立たない」という意見を耳にすることがあります。確かに大学の数学科で学ぶ内容は、高校数学と比べて抽象的で、日常生活とのつながりが見えにくい分野も少なくありません。しかし、そのような数学研究がなぜ国立大学で行われ、多...

mod計算（剰余算）は、整数をある数で割ったときの余りを扱う算数・数学の基本的な考え方です。大学のデータサイエンス基礎数理でもよく出てきますが、考え方を整理すれば一から理解できます。1. mod計算の基本「a mod m」とは、整数aを整数...