測度論において、零測度集合や全測度集合は特殊な性質を持ちます。ここでは、測度空間 (X, F, µ) において G := {A ∈ F | µ(A) = 0 または µ(A^c) = 0} が σ-加法族であることを示す方法を整理します。
1. σ-加法族の定義を確認
σ-加法族とは、空集合を含み、補集合に閉じ、可算和に閉じた集合族のことです。G が σ-加法族であるためには次を示す必要があります。
- ∅ ∈ G
- A ∈ G ⇒ A^c ∈ G
- {A_n} ⊆ G ⇒ ⋃_{n=1}^∞ A_n ∈ G
2. 空集合の確認
空集合 ∅ は µ(∅) = 0 なので ∅ ∈ G です。
3. 補集合に関する閉包性
もし A ∈ G なら µ(A) = 0 または µ(A^c) = 0 のいずれかが成り立ちます。
- µ(A) = 0 の場合、µ(A^c) = µ(X) – µ(A) = µ(X) – 0 = µ(X) で、A^c は全測度集合かもしれませんが定義上は G に含まれます。
- µ(A^c) = 0 の場合、A^c の補集合は A であり、µ(A) = µ(X – A^c) = µ(X) – 0 = µ(X) となり、これも G に含まれます。
よって、G は補集合に閉じています。
4. 可算和に関する閉包性
{A_n} ⊆ G とすると、各 n について µ(A_n) = 0 または µ(A_n^c) = 0 が成り立ちます。可算和の性質から次の2つのケースが考えられます。
- 全ての A_n が µ(A_n) = 0 の場合、µ(⋃ A_n) ≤ Σ µ(A_n) = 0 なので ⋃ A_n ∈ G
- いずれかの A_n が µ(A_n^c) = 0 の場合、A_n^c が空集合に近い集合であるため、⋃ A_n は全測度集合に近くなり、定義上 G に含まれます。
5. まとめ
以上の確認により、G は空集合を含み、補集合に閉じ、可算和に閉じているため、G は X 上の σ-加法族であることが示されました。
コメント