微分方程式 y = xy’ + y’ − (y’)² の特異解の定数項についての考え方

微分方程式 y = xy’ + y’ − (y’)² の特異解を求める際、解の形に含まれる定数項について疑問を持つ人がいます。例えば y = (x+1)²/4 と答えた場合、解答例では展開して定数項を削除していることがあります。この記事では、特異解と定数項の取り扱いについてわかりやすく解説します。

特異解とは何か

まず、特異解とは一般解に含まれない解で、接線包絡線として現れる解のことを指します。特異解は定数を持たない形で表現されるのが通常です。

今回の方程式で y = (x+1)²/4 という形は、定数項を含むと一般解の形に近く見えることがありますが、特異解として認める場合、定数項の有無は解の表現方法の違いであり、計算上はどちらでも本質的な差はありません。

定数項の扱い

特異解は一般解に含まれる任意定数に依存しないため、定数項は省略されることが多いです。解答例では y = (x² + 2x)/4 のように定数項 1/4 を省略していることがあります。

これは、定数項を加えても微分すると消えるため、特異解の定義に影響を与えないからです。したがって、y = (x+1)²/4 と答えても、展開して定数項を除いた形でも、数学的には正しいと考えられます。

まとめ

結論として、y = (x+1)²/4 と解答した場合でも、定数項を省略して y = (x² + 2x)/4 と表す場合でも、特異解としての本質は変わりません。解答例では簡略化のため定数項を削除しているだけであり、どちらの表記も正しい解答となります。