三角比の問題では「45°以下の角の三角比で表せ」という形で、与えられた角度を変形する問題がよく出題されます。
本記事では、tan65°・sin51°・cos54°・tan48°といった具体例を使いながら、その基本的な考え方と解き方を整理していきます。
基本方針：90°との差を利用する
このタイプの問題の基本は「補角（90°−θ）」の公式を使うことです。
三角比には次の重要な関係があります。
sin(90°−θ)=cosθ、cos(90°−θ)=sinθ、tan(90°−θ)=1/tanθ
つまり、45°より大きい角度は「90°−小さい角度」の形に変換することで、45°以下の角の三角比に直せます。
tan65°の変形方法
tan65°は90°との差を使うと、tan(90°−25°)と表せます。
したがって、tan65°=1/tan25°となります。
ここで25°は45°以下なので条件を満たした形に変換できています。
sin51°の変形方法
sin51°は補角を使ってcos39°に変換できます。
具体的には sin51°=sin(90°−39°)=cos39° です。
これにより、45°以下の角（39°）の三角比で表現できました。
cos54°の変形方法
cos54°はsinを使って表すことができます。
cos54°=cos(90°−36°)=sin36°です。
36°は45°以下なので条件に適合しています。
tan48°の変形方法
tan48°はそのままでは補角を使いにくいですが、90°との差を使います。
tan48°=tan(90°−42°)=1/tan42°です。
42°は45°以下なので、条件を満たす形に変換できます。
まとめ
この問題の本質は「90°−θの形に変換して補角の公式を使うこと」です。
sin・cos・tanの関係を正しく使えば、すべて45°以下の角の三角比に書き換えることができます。
特に tanは逆数になる点が重要なので、公式の使い分けを意識することがポイントです。
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