整数a、bに対して「a²+b²が3の倍数ならば、aもbも3の倍数である」ことを証明する問題は、合同式（mod）を使う典型的な例題です。一見難しく感じますが、3で割った余りに注目することでシンプルに理解できます。本記事では、初心者でもわかるように丁寧に証明の流れを解説します。
証明のポイントは「3で割った余り」に注目すること
整数は3で割ると、余りは必ず0・1・2のいずれかになります。
つまり、任意の整数aは次のいずれかに分類できます。
・a ≡ 0 (mod 3)
・a ≡ 1 (mod 3)
・a ≡ 2 (mod 3)
これはbについても同様です。
この「余りのパターン」を調べることが証明のカギになります。
平方したときの余りを確認する
次に、それぞれを2乗したときの余りを考えます。
・0² ≡ 0 (mod 3)
・1² ≡ 1 (mod 3)
・2² = 4 ≡ 1 (mod 3)
つまり、平方すると余りは0か1にしかならないことがわかります。
ここが重要なポイントです。
a²+b²が3の倍数になる条件
a²とb²はそれぞれ0または1の余りしか取りません。
そのため、a²+b²の余りの組み合わせは以下のようになります。
| a² | b² | 和 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 2 |
この表から分かるように、和が0になるのは「0+0」の場合だけです。
つまり、a²もb²も両方とも0でなければならないことがわかります。
結論：aもbも3の倍数である
a² ≡ 0 (mod 3)であるということは、a ≡ 0 (mod 3)です。
同様にb² ≡ 0 (mod 3)から、b ≡ 0 (mod 3)となります。
したがって、aもbも3の倍数であることが証明されました。
このように、「平方の余り」と「組み合わせ」を考えることで、シンプルに結論にたどり着きます。
具体例で理解する
例えば、a=3、b=6とすると、
a²+b² = 9 + 36 = 45
確かに3の倍数です。このときaもbも3の倍数になっています。
一方、a=1、b=2とすると、
a²+b² = 1 + 4 = 5
これは3の倍数ではありません。
このように実際の数でも確認すると、証明の意味がより理解しやすくなります。
まとめ
a²+b²が3の倍数になるためには、それぞれの平方が3で割り切れる必要があります。そして平方の性質から、それはaもbも3の倍数である場合に限られます。
この問題は合同式の基本的な考え方を使った典型例であり、「余りに注目する」ことが重要なポイントです。慣れてくると他の整数問題にも応用できるようになります。
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