与えられた方程式 x^2+12x−y^2+y−1=0 のように、整数や自然数の条件がついた二変数方程式は、一見すると複雑に見えますが、整理の仕方を理解すると解きやすくなります。この記事では、この方程式を自然数の範囲で解くための考え方と手順を順を追って整理します。
式を整理して見やすい形にする
まずは式を変形して、xとyの関係が分かりやすい形にします。
x^2+12x−y^2+y−1=0 を整理すると、xの項とyの項を分けて考えることができます。
例えば x^2+12x = (y^2−y+1) と移項することで、左右それぞれの構造を比較できます。
平方完成でxの形を整える
xの式 x^2+12x は平方完成すると (x+6)^2−36 になります。
これを使うと式全体は (x+6)^2−36−y^2+y−1=0 となります。
整理すると (x+6)^2 = y^2−y+37 となり、右辺が平方数になる条件を探す問題に変わります。
yの式を平方完成して構造を理解する
次に右辺 y^2−y+37 を整理します。
y^2−y は (y−1/2)^2−1/4 と変形できるため、y^2−y+37 = (y−1/2)^2 + 147/4 となります。
この形から、右辺が整数の平方になるには特定の条件を満たす必要があることが分かります。
自然数条件から候補を絞る考え方
(x+6)^2 = y^2−y+37 より、右辺は完全平方数でなければなりません。
yを小さい自然数から順に代入し、y^2−y+37 が平方数になるか確認する方法が現実的です。
例えば y=1,2,3,… と試すことで、成立する組を探索できます。
具体的な探索の進め方
y=1のとき 37、y=2のとき 39、y=3のとき 43、y=4のとき 49 となります。
この中で 49 は平方数なので y=4 のとき成立する可能性があります。
その場合 (x+6)^2=49 より x+6=7 または -7 ですが自然数より x=1 が得られます。
まとめ
この問題は、単純な計算ではなく平方完成による構造変形と、平方数条件の見極めが重要になります。
式を整理し、左右を「平方数の形」にそろえることで自然数解を効率的に絞り込むことができます。
結果として、yを順に調べる方法と平方完成の組み合わせが最も確実な解法となります。
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