定積分 ∫[0,1] log(x+1)/(x^2+1) dx の解き方｜対数関数を含む積分のステップ

この定積分 ∫[0,1] log(x+1)/(x^2+1) dx は、対数関数を含む複雑な形ですが、部分積分と置換を使うことで計算可能です。ここではステップごとに解説します。

ステップ1：部分積分の公式を利用する

∫ u dv = uv – ∫ v du の公式を使います。ここで、u = log(x+1)、dv = dx/(x^2+1) と置きます。

すると du = dx/(x+1)、v = arctan x です。

∫[0,1] log(x+1)/(x^2+1) dx = [log(x+1) arctan x]_0^1 – ∫[0,1] arctan x /(x+1) dx

= log2*(π/4) – ∫[0,1] arctan x /(x+1) dx

ここで x = (1-t)/(1+t) と置換すると dx = -2/(1+t)^2 dt となり、積分区間も t=1→0、t=0→1 に反転します。これにより ∫[0,1] arctan x /(x+1) dx を整理可能です。

置換と簡単な計算を行うと、積分結果は次のようにまとめられます。

∫[0,1] log(x+1)/(x^2+1) dx = (π/4) log 2 – (1/2) ∫[0,1] log((1+t)/(1-t)) / (1+t^2) dt

この積分は、解析的に評価する場合には級数展開や定積分の既知の公式を利用すると具体的な値を求めることが可能です。

1. 部分積分を使い、log(x+1) を微分対象にする
2. dv=dx/(x^2+1) を積分して arctan x を得る
3. 置換により残りの積分を簡単な形に変形する
4. 必要に応じて級数展開や既知の積分公式で評価する

この手順で、対数関数を含む定積分を体系的に解くことができます。