連続関数が不明でも極限を簡単に考える｜分子分母の変形と級数展開で解く方法

極限の計算で連続かどうか分からない関数に直面すると、左右からの極限や分子分母の挙動を考える必要があり、初心者にとっては非常に難しく感じられます。ここでは、具体的な例を使いながら、計算のコツと手順を解説します。

例題の確認

次の極限を考えます。

lim[a→1] (e^(a+1) + e^(a-1) – e^(2a) – a) / (e^(a-1) – 1)

分母は a→1 で e^(0)-1=0 となるので0に近づきます。分子も a→1 で e^2 + e^0 – e^2 – 1 = 1 + 1 – e^2 -1 ≈ 0 となり、0/0 型の不定形です。

分子の展開方法

こういう場合はテイラー展開や微分を使うと簡単です。

1. 分子を a=1 のまわりで展開。

• e^(a+1) ≈ e^2 + e^2*(a-1)
• e^(a-1) ≈ 1 + (a-1)
• e^(2a) ≈ e^2 + 2*e^2*(a-1)

分子をこれで書き換えると。

(e^2 + e^2*(a-1) + 1 + (a-1) – e^2 – 2*e^2*(a-1) -1) = (1 – e^2 + a-1 + …) = (a-1)*(1 – e^2)

分母の展開

分母 e^(a-1) – 1 ≈ (a-1)

極限の計算

分子/分母 ≈ ((a-1)*(1 – e^2)) / (a-1) = 1 – e^2

したがって、lim[a→1] = 1 – e^2 です。

計算のコツ

• 0/0 型の極限ではまず展開や微分を検討する
• 連続かどうか分からなくても、a→c 付近でのテイラー展開が有効
• 左右極限の確認は不定形でない場合は省略可能

まとめ

連続関数か分からない場合でも、分子分母を a=c のまわりで展開するか、ロピタルの定理を使うことで極限を効率的に計算できます。テイラー展開を覚えておくと、複雑な指数関数や対数関数でも簡単に処理できます。