高校数学で登場する「||x|-2|＜a」のような二重の絶対値を含む不等式は、多くの人がつまずく単元です。しかし、絶対値の意味を順番に考えていけば難しくありません。この記事では、||x|-2|＜a の解き方や証明問題で使う考え方を分かりやすく解説します。
まずは絶対値の意味を確認する
絶対値とは、数直線上で原点からどれだけ離れているかを表す量です。
例えば、|3|＝3、|-3|＝3となります。
また、|A|＜a（ただしa＞0）であれば、-a＜A＜a と書き換えることができます。
二重の絶対値も外側から順番に処理することが重要です。
||x|-2|＜a を変形する
まず、A＝|x|-2 と置きます。
すると不等式は |A|＜a となります。
絶対値の基本公式を使うと、
-a＜|x|-2＜a
となります。
さらに両辺に2を加えると、
2-a＜|x|＜2+a
が得られます。
なぜここから場合分けが必要なのか
|x|は絶対値なので常に0以上です。
そのため、2-aの値が正か負かによって解の形が変わります。
例えば、a≧2の場合は2-a≦0となるため、左側の条件は自動的に満たされる部分があります。
一方で0＜a＜2の場合は、|x|がある範囲に入る必要があります。
数直線で考えると理解しやすい
||x|-2|は、「|x|と2との距離」を表しています。
つまり、||x|-2|＜a は「|x|が2から距離a以内にある」という意味です。
そのため、|x|は
2-a＜|x|＜2+a
の範囲に存在します。
図で考えると、数直線上で2を中心とする幅aの区間を表していることが分かります。
具体例で確認する
例えば a＝1 の場合を考えます。
2-1＜|x|＜2+1
より、
1＜|x|＜3
となります。
絶対値を外すと、
-3＜x＜-1 または 1＜x＜3
が解になります。
証明問題でよく使うポイント
証明問題では、まず外側の絶対値を外して範囲に直すことが基本です。
その後、得られた不等式から|x|の範囲を求め、必要に応じてさらにxの範囲へ変換します。
「絶対値＝距離」という意味を意識すると、計算だけでなく図形的にも理解しやすくなります。
まとめ
||x|-2|＜a を解くときは、まず外側の絶対値を外して -a＜|x|-2＜a に変形します。
続いて 2-a＜|x|＜2+a を得て、最後に|x|の条件からxの範囲を求めます。
二重の絶対値は複雑に見えますが、「外側から順番に処理する」「絶対値は距離を表す」という2つの考え方を押さえれば理解しやすくなります。
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