数学Bの重要な単元である数学的帰納法を使えば、nを4以上の自然数として2ⁿ > 3n + 1 の不等式を簡単に証明することができます。ここでは手順を具体例を交えて解説します。
1. 基本ステップ：n=4 の確認
まず、帰納法では最小の n から不等式が成り立つことを確認します。
n=4 のとき、左辺は 2⁴ = 16、右辺は 3×4 + 1 = 13 です。
16 > 13 なので、n=4 の場合、不等式は成立します。
2. 帰納法の仮定
次に、n=k のとき不等式が成立すると仮定します。
すなわち、2ᵏ > 3k + 1 が成り立つと仮定します。
3. n=k+1 の場合を証明
仮定から n=k+1 の場合の左辺と右辺を比較します。
左辺: 2^(k+1) = 2 × 2ᵏ
右辺: 3(k+1) + 1 = 3k + 4
帰納法の仮定 2ᵏ > 3k + 1 を使うと、
2^(k+1) = 2 × 2ᵏ > 2 × (3k + 1) = 6k + 2
ここで右辺 3k + 4 と比較すると、6k + 2 > 3k + 4 は k ≥ 1 で成り立ちます。
したがって、n=k+1 の場合も 2^(k+1) > 3(k+1)+1 が成立します。
4. 結論
数学的帰納法により、n ≥ 4 の自然数すべてに対して不等式 2ⁿ > 3n + 1 が成立することが証明できました。
5. ポイントのまとめ
- まず n の最小値で不等式が成立することを確認する。
- n=k の場合を仮定して、n=k+1 の場合を証明する。
- 左辺を 2×2ᵏ に書き換え、仮定を代入して右辺より大きいことを示す。
この手順を踏むことで、数学的帰納法を使った証明は体系的に理解できます。
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