複素解析において、正則関数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) の絶対値や実部のべき乗に関するラプラシアンの公式は、調和関数や正則関数の性質を理解する上で重要です。ここでは Δ|f(z)|^p および Δ|u|^p の公式を示し、その導出方法を解説します。
前提条件と設定
領域 D 上で f(z) が正則であるとします。f(z)=u(x,y)+iv(x,y) とし、p は実数です。
Δ|f(z)|^p の導出
まず |f(z)|^2 = u^2+v^2 とします。これに対してべき乗を取り、ラプラシアンを計算します。
Δ|f|^p = Δ(|f|^2)^{p/2} = p(p/2-1)(u^2+v^2)^{p/2-2}((u_x u+v_x v)^2+(u_y u+v_y v)^2) + p(u^2+v^2)^{p/2-1}(Δ(u^2+v^2)/2)
正則関数の Cauchy-Riemann 条件により、Δ(u^2+v^2)=4|f’|^2 であり、整理すると
Δ|f|^p = p^2 |f|^p-2|f’|^2
Δ|u|^p の導出
同様に実部 u に対して、p<2 の場合は u(x,y) ≃ 0 として
Δ|u|^p = p(p-1)|u|^p-2|f’|^2
まとめ
以上の導出により、正則関数 f(z) に対して絶対値のべき乗や実部のべき乗のラプラシアンは、それぞれ |f’|^2 を含む形で表されることが示されました。これらの公式は複素関数の調和性や不変量を考える際に有用です。
コメント