正則関数の二乗和が調和関数なら定数であることの証明

複素解析における重要な性質の一つに、正則関数の絶対値の二乗の和が調和関数である場合、その関数自体が定数関数になるというものがあります。ここでは、これを段階的に理解できるように解説します。

問題設定の確認

領域Dにおいて、関数fi(z) (i=1,2,…,n) が正則であり、

∑_{i=1}^{n} |fi(z)|^2 がD上で調和関数である。

このとき、各 fi(z) が定数関数であることを示すことが目標です。

調和関数と正則関数の関係

正則関数 f(z) に対して |f(z)|^2 は一般に調和関数とは限りません。しかし、今回の条件では ∑|fi(z)|^2 が調和関数となっています。これは重要な制約です。

ラプラス演算子の利用

調和関数 u(z) はラプラス方程式 Δu=0 を満たします。ここで u(z)=∑|fi(z)|^2 とすると、

Δu = 4 ∑ |∂fi/∂z|^2 = 0

となります（ここで ∂/∂z は複素微分）。絶対値の二乗の和が調和ならば、各項 |∂fi/∂z|^2 = 0 である必要があります。

結論

したがって、各 fi(z) の複素微分 ∂fi/∂z = 0 となり、fi(z) は定数関数であることが示されます。

まとめ

正則関数の絶対値の二乗の和が調和関数である場合、ラプラス演算子を用いると各関数の微分がゼロとなることが分かります。従って、fi(z) (i=1,…,n) はすべて定数関数であることが証明されます。