大学数学でよく見かける陰関数の導関数の求め方を解説します。今回は、log(x² + y²) − arctan(y/x) = 0 という式から、定数xの陰関数の導関数を求める問題です。手順を追って詳細に説明します。
問題の整理
与えられた方程式は次の通りです。
log(x² + y²) − arctan(y/x) = 0
この式から定数xの陰関数の導関数を求めることが目的です。まず、この方程式をyの関数として解くためには、yをxに依存する関数として考えます。
陰関数の導関数の求め方
この問題を解くためには、偏微分を利用して陰関数を導く必要があります。まず、与えられた方程式をyについて微分します。
与えられた方程式。
log(x² + y²) − arctan(y/x) = 0
両辺をxで微分します。まず、log(x² + y²)を微分すると。
d/dx[log(x² + y²)] = (1/(x² + y²)) * (2x + 2y * dy/dx)
次に、arctan(y/x)を微分します。
d/dx[arctan(y/x)] = 1 / (1 + (y/x)²) * (-y/x² + x * dy/dx / x²)
計算を進める
これらの微分結果を元の方程式に代入し、dy/dx（yの導関数）を求めます。必要な式を整理して、次のように解くことができます。
(1/(x² + y²)) * (2x + 2y * dy/dx) = 1 / (1 + (y/x)²) * (-y/x² + x * dy/dx / x²)
この式を解くことで、yの導関数dy/dxが求められます。求めたdy/dxが、定数xに関する陰関数の導関数となります。
まとめ
このように、与えられた方程式を微分して、陰関数の導関数を求める方法は、変数xとyの関係を微分方程式として解く手法です。具体的な計算手順を踏んでいくことで、定数xの陰関数の導関数が求められることが確認できます。数学的な理論と実際の計算を組み合わせることで、問題を解く力を養うことができます。
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