二重根号の計算で√a＞√bの形になる理由と符号の扱い

高校数学でよく出る二重根号の計算、例えば √(a+b-2√ab) = √a – √b の形について解説します。ここで注意したいのは、平方根は常に非負であるため、右辺の形を正しく書く必要があることです。

1. 二重根号の展開の基本

式 √(a+b-2√ab) を考えます。これを (√a – √b)² の形に変形すると、(√a – √b)² = a – 2√ab + b = a + b – 2√ab となり、左辺と一致します。

平方根は常に0以上の値です。したがって √a – √b の形にする場合、√a ≥ √b でないと負の値になってしまい、平方根とは矛盾します。もし √a < √b の場合、負の値になりますが、そのときは - (√b - √a) と書き換えて、常に正の形に整えます。

例えば √(5+10-2√50) を考えると、√(15-2√50) = √( (√5)² + (√10)² – 2√5√10 ) = √(√10-√5)² = √10 – √5 となります。ここで √10 > √5 なので問題なく右辺は正の値です。

もし計算中に √a < √b となった場合は、- を外に出して正の平方根に直す必要があります。つまり、- (√b - √a) = √a - √b の形にします。

二重根号を簡単にする際は、右辺の平方根は常に非負であることを意識します。√a < √b となる場合は - を使って正の形に直すことが必要です。通常、問題では a ≥ b の場合が多く、計算過程で自然に √a ≥ √b となる設定になっています。