準開基と開基の関係：S’={∩Vi | Vi∈S} が開基になるかの考察

位相空間論における準開基と開基の関係は、初学者には少し分かりにくい概念です。ここでは、S が位相 Ox の準開基であるとき、S’={V1∩…∩Vm | m≧1、Vi∈S} が Ox の開基になるかどうかを解説します。

1. 準開基の定義

準開基 S は、位相 Ox を生成する部分族であり、Ox に含まれる任意の開集合 O は、S に含まれる集合の合併として表せることを意味します。形式的には、Ox=∩{O’⊂2^X | O’ は位相かつ S⊂O’} です。

2. S’ の定義とその意図

S’ は S の有限交叉の全体で、1 個以上の交叉を取った集合です。理想的には、S’ が開基になると、Ox の任意の開集合を S’ の合併で表現できます。

3. 実例で考える

例として X={1,2,3}、Ox={∅,{1},{1,2},X}、S={{1},{1,2}} とします。この場合、S’ は有限交叉として {{1},{1,2}} となり、X は S’ の集合の合併としても表せません。したがって、S’ はこの Ox の開基にはなりません。

4. 一般的な結論

準開基 S から S’ を作っただけでは、必ずしも Ox の開基になるとは限りません。開基になるためには、S の集合から生成される有限交叉の合併で Ox の任意の開集合を表現できる必要があります。したがって、S が準開基であることと S’ が開基であることは同値ではありません。

5. まとめ

準開基 S とその有限交叉 S’ の関係は直感的に似ていますが、S’ が自動的に開基になるわけではありません。開基の条件を満たすかどうかは、具体的な集合族 S の構造に依存します。Wikipedia の定義も参照すると、S が準開基であっても、有限交叉だけでは必ずしも全ての開集合を生成できない場合があることが理解できます。