x^2+y^2=1 上の関数 x^3y の最大値・最小値と定義域の扱い方

この問題は、単位円の第一象限 (x>=0, y>=0) 上で関数 f(x,y)=x^3y の最大値・最小値を求めるものです。x^2+y^2=1 なので y は y=√(1-x^2) と表せます。

関数の変形と定義域

f(x,y) を x のみの関数に書き換えると f(x)=x^3√(1-x^2) となります。ここで x は 0 以上 1 以下ですが、増減表を書くときに 1 を除く理由は、x=1 では f(x)=1^3*√(1-1^2)=0 となり、微分して増減を調べるときに分母に √(1-x^2) が出てくるため、x=1 では微分が定義できないからです。つまり増減表上では 0<=x<1 として解析し、端点は別途評価します。

増減表の作り方

f(x)=x^3√(1-x^2) を微分します。f'(x)=3x^2√(1-x^2)+x^3*(-1/2)(1-x^2)^(-1/2)*(-2x)=3x^2√(1-x^2)-x^4/√(1-x^2)=(3x^2(1-x^2)-x^4)/√(1-x^2)=(3x^2-4x^4)/√(1-x^2)

分子を 0 にすると臨界点 x=0 と x=√3/2 が得られます。分母 √(1-x^2) が 0 になる x=1 は微分不可能ですが、端点として評価します。

最大値・最小値の評価

端点と臨界点を評価します。

• x=0 → f=0
• x=√3/2 → y=√(1-(3/4))=1/2 → f=(√3/2)^3 * 1/2= (3√3/16) ≈0.324
• x=1 → y=0 → f=0

したがって最大値は 3√3/16、最小値は 0 です。

まとめ

1 を増減表から除く理由は微分が定義できないためで、端点は別途評価します。単位円上の関数 f(x,y)=x^3y は第一象限で最大値 3√3/16、最小値 0 となります。